OTChET_GOTOV_4_laba_tsos 2 (Лабораторные работы)
Описание файла
Файл "OTChET_GOTOV_4_laba_tsos 2" внутри архива находится в папке "Лабораторные работы". Документ из архива "Лабораторные работы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "электронные вычислительные машины (эвм)" из 8 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лабораторные работы", в предмете "управляющие эвм и системы" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "OTChET_GOTOV_4_laba_tsos 2"
Текст из документа "OTChET_GOTOV_4_laba_tsos 2"
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана»
(МГТУ им. Н.Э. Баумана)
Факультет «Информатика и системы управления»
Кафедра «Компьютерные системы и сети»
Лабораторная работа №4
по предмету
Управляющие ЭВМ и системы
Руководитель,
К.т.н,доц. ____________Андреев А.М.
Исполнители,
Студ.гр. ИУ6-83_____Б. С. Романчиков,
Студ.гр. ИУ6-83_____А. А. Кочетков,
Студ.гр. ИУ6-83_____Д. Э. Трибушков.
Москва 2015
Цель работы. Ознакомить студентов с методами создания стационарных случайных процессов и средствами определения статистических характеристик случайных процессов пакета MATLAB и его приложения SIMULINK.
1. Работа со случайными процессами в пакете MATLAB
1.1. Генераторы случайных процессов.
В пакете MATLAB имеется около сорока генераторов случайных процессов для различных законов распределения. Описания генераторов приведено в HELP в разделе Statistics Toolbox/Function-By Gategory/Probability Distributions/Random Namber Generator. В лабораторной работе используются два генератора:
- генератор процесса с нормальным распределением,
Плотность вероятности такого процесса:
- генератор процесса с равномерным распределением.
Плотность вероятности такого процесса:
Рассмотрим вначале процессы с нормальным распределением.
Использование генератора в формате
выдает непрерывное случайное число, имеющее нормальный закон распределения, математическое ожидание - и стандарт . Повторное обращение к (1) выдаст следующее случайное число и т.д. Все числа некоррелированы между собой.
Использование генератора в формате
при выдаст реализацию нормального процесса из отсчетов. Повторное обращение к (2) выдаст другую реализацию. Все точки реализации некоррелированы. Такая реализация называется гауссовым шумом.
Когда запланирована обработка нескольких реализаций, выбирается . Образуется матрица из строк. Каждая строка представляет собой реализацию нормального случайного процесса.
Выбираем
Заметим, что у этих генераторов есть дефект: все реализации имеют одинаковые начальные условия, поэтому накапливать информацию, запуская несколько реализаций не имеет смысла. Поэтому надо запускать генератор один раз, сохраняя результат в матрицу заранее рассчитанной требуемой размерности, которая будет содержать все выборки шума.
Можно просмотреть вид реализации командой
(4)
1.2. Определение плотности вероятности
Статистическое определение плотности вероятности можно выполнить с помощью построения гистограммы командой
Команда разбивает диапазон существования реализации на интервалы и подсчитывает число попаданий случайного процесса в каждый интервал. Высота каждого столбика гистограммы пропорциональна числу попадания в интервал. Видно, что гистограмма похожа на нормальное распределение. Она будет более похожа, если увеличить число точек в реализации. Научное определение «похожести» проводится с помощью проверки гипотезы о принадлежности точек реализации нормальному закону. В этой работе проверки гипотезы не требуется.
Некоторым инженерным подтверждением нормальности случайного процесса является тот факт, что практически все точки случайного процесса отклоняются от математического ожидания не более чем на три стандарта (правило трех сигм). Точнее с вероятностью 0.997. Для теоретического значения это выполняется. Проверьте, когда найдете статистическое значение сигма.
1.3. Определение моментных характеристик
Определение математического ожидания
Определение дисперсии
Определение стандарта или корня квадратного из дисперсии
Полученные величины имеют статистический характер, они случайны, доверительный интервал их отклонения от теоретического значения уменьшается с увеличением длины реализации. Оцените это экспериментально.
Для последующей обработки, особенно для вычисления спектра и спектральной плотности полезно удалить тренд – постоянную составляющую - математическое ожидание.
1.4. Определение спектра и спектральной плотности
Определение спектра
Прокомментируем результат. Определен спектр гауссового шума, все отсчеты которого некоррелированы. Теоретически такой процесс имеет постоянную спектральную плотность и примерно постоянный спектр любой реализации. Получили сильно изрезанный график, поскольку в соответствии с алгоритмом БПФ вычислено 1000 гармоник спектра по 1000 отсчетам гауссового шума и каждый отсчет вошел в результат. Для вывода более «плавного» спектра рекомендуется выбрать количество отсчётов 100000.
Так как каждая реализация случайна, спектр каждой реализации тоже случаен. Спектральная плотность является осреднением квадрата мощности спектров. Один оз способов вычисления спектральной плотности следующий
где 8 – принятый порядок модели. w-значение частоты, для которой вычисляется S.
Получили примерно постоянную спектральную плотность. Это можно считать подтверждением того, что генератор генерирует гауссовый шум.
Обратите внимание на диапазон изменения частоты. Выбирается один отсчет в одну относительную единицу времени. Частота Котельникова равна единице или . Диапазон изменения частоты на графике равен частоте Найквиста или .
1.5. Случайный процесс с равномерным распределением.
Случайный процесс с равномерным распределением генерируется функцией
где - нижняя и верхняя границы равномерной плотности вероятности.
Учтем, что теоретическое значение дисперсии процесса с равномерным распределением равно
Чтобы дисперсии процессов с нормальным и равномерным распределениями были одинаковыми и равными единице, а математическое ожидание было равно нулю, необходимо
Тогда команда для вычисления равномерно распределенного случайного процесса имеет вид
Значения такого процесса будут также некореллированы. Процесс имеет название белого шума.
Производим для белого шума такие же операции что и для гауссового шума (см. 5-11), в результате которых необходимо показать:
- гистограмма имеет вид равномерного распределения,
- матожидание примерно нулевое,
- дисперсия примерно единичная,
- спектральная плотность примерно постоянная.
Запустим генератор случайного процесса с нормальным распределением и построим этот процесс.
X = normrnd(0,1,1,1000)
Plot(X),grid
Построим гистограмму.
hist(X)
Практически все точки случайного процесса отклоняются от математического ожидания не более чем на три стандарта (правило трех сигм). Точнее с вероятностью 0.997. Для теоретического значения это выполняется, проверим для значения, равного 2.
Построим сначала процесс, затем гистограмму.
X = normrnd(0,2,1,1000)
plot(X),grid
Построим гистограмму.
hist(X)
Как видно из гистограммы, случайная величина не отклоняется на величину большую 2*3 от математического ожидания, которое равно 0.
Определение моментных характеристик
Определение математического ожидания
Определение дисперсии
Определение стандарта или корня квадратного из дисперсии
Эти величины имеют статистический характер, они случайны, доверительный интервал их отклонения от теоретического значения уменьшается с увеличением длины реализации.
Проверим это утверждение на практике, запустим три генератора случайного процесса с нормальным распределением. Различие в длине реализации между ними кратно десяти.
X = normrnd(0,1,1,1000)
Y = normrnd(0,1,1,10000)
Z = normrnd(0,1,1,100000)
Далее вычислим для каждого мат. Ожидание, дисперсию, стандарт.
mean(X)
var(X)
std(X)
X | Y | Z | Теоретическое | |
Мат. ожидание | -0.0084 | -0.0122 | 0.00064763 | 0 |
Дисперсия | 1.0629 | 0.9934 | 1.0032 | 1 |
Стандарт | 1.0310 | 0.9967 | 1.0016 | 1 |
Что и требовалось доказать.
Далее определим спектр и спектральную плотность, после чего докажем, что наш случайный процесс с нормальным распределением является Гауссовым шумом.
X = normrnd(0,1,1,100000)
Удаляем тренд:
X0=X-mean(X)
Находим спектр:
F=fft(X0)
plot(abs(F)),grid
Определен спектр гауссового шума, все отсчеты которого некоррелированы. Теоретически такой процесс имеет постоянную спектральную плотность и примерно постоянный спектр любой реализации.
Найдём спектральную плотность. Спектральная плотность является осреднением квадрата мощности спектров.
[S,w]=pcov(X0,8)
plot(w,S),grid