Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

Факультет "Информатика и системы управления"

Кафедра ИУ-6

Методические указания к лабораторной работе

по разделу курса " Цифровая обработка сигналов "

Дискретизация. Дискретное преобразование Фурье

Москва 2014

Содержание

Цель работы 2

Задание для домашней подготовки 2

Задания к лабораторной работе 3

Задание 1 3

Задание 2 3

Задание 3 3

Задание 4 4

Содержание отчета 4

Контрольные вопросы 4

Литература 4

Приложение 1. Полезные сведения о дискретизации, теореме Котельникова, быстром преобразовании Фурье 5

1.1 Частота, круговая частота, период 5

1.2 Нюансы дискретизации. Теорема Котельникова 5

1.3. Периодическое повторение спектра при дискретизации. 6

1.4 Иллюстрация теоремы Котельникова 8

1.5 Дискретное преобразование Фурье 9

Приложение 2. Простейшие присваивания и построение графиков в пакете MATLAB 12

2.1. Главное окно MATLAB 12

2.2. Простейшие присваивания 12

2.3. Построение графиков 13

Цель работы

Изучение свойств дискретного преобразования Фурье. Получение необходимых сведений о практическом применении дискретного преобразования Фурье и теоремы Котельникова. Знакомство с пакетом MATLAB.

Задание для домашней подготовки

Ознакомиться с полезными сведениями о дискретизации, о теореме Котельникова, о быстром преобразовании Фурье (Приложение 1), а также простейшими присваиваниями и построением графиков в пакете MATLAB (Приложение 2).

Задания к лабораторной работе

Задание 1

Используя функцию построения графиков в пакете MATLAB, проиллюстрируйте утверждение 2 раздела 1.4.

Указание. Постройте в одной системе координат несколько синусоид, частоты которых удовлетворяют соотношению из утверждения 2 раздела 1.4 для некоторой заданной частоты дискретизации и покажите, что при дискретизации любой из этих синусоид с соответствующей частотой дискретизации получатся одни и те же отсчеты.

В отчете подпишите на графике частоту каждой синусоиды и покажите, что все частоты отличаются на целое число частот дискретизации.

Задание 2

Зайдите в раздел help пакета MATLAB и выясните, как работает функция randn.

Создайте сигнал «шум» + «синусоида» и отобразите его во временной области. Мощность шума должна быть такой, чтобы синусоиду единичной амплитуды различить было невозможно (для этого вполне достаточно значений, возвращаемых функцией randn по умолчанию).

Выполните дискретное преобразование Фурье (ДПФ) полученного сигнала. На графике ДПФ синусоида заданной частоты должна быть видна. Определите настоящую частоту этой синусоиды, считая известной частоту дискретизации.

В отчете должны быть графики сигнала во временной и в частотной области. Нужно привести листинг вводимых команд и доказательство того, что на графике ДПФ отображена именно та частота, которую мы задавали изначально (используйте формулу из утверждения 3 раздела 1.5)

Задание 3

Задайте частоты f1, f2 и fs ( fs > 2 * max (f1,f2) ). Создайте сигнал, равный сумме двух синусоид частот f1 и f2 и произведите дискретизацию этого сигнала с частотой fs.

Нужно в соответствии с заданными частотами f1, f2 и fs подобрать такое минимальное количество отсчетов N, чтобы пики на графике ДПФ, соответствующие f1 и f2, были хорошо различимы. При этом можете просматривать соответствующий график во временной области.

Шаблон, который полезен при выполнении задания, следующий:

diskr=sin([0:1/fs:N/fs]*2*pi*f1)+ sin([0:1/fs:N/fs]*2*pi*f2); (1)

plot ([0:N],diskr);

plot(abs(fft(diskr)));

В отчете должны быть графики, показывающие, как с увеличением N пики (отсчеты), соответствующие частотам f1 и f2, постепенно становятся всё более различимыми. На последнем графике, используя формулу из утверждения 3 раздела 1.5, докажите, что эти пики соответствуют именно тем синусоидам, которые были введены.

Примечание. Если вам кажется, что результаты ДПФ выглядят неточно, поменяйте N на число, являющееся целой степенью двойки (128, 256 и т.п.). Это связано с тем, что ДПФ вычисляется с помощью алгоритма Fast Fourier Transform – быстрого преобразования Фурье.

Задание 4

Задана синусоида частоты f и количество отсчетов N. Меняя частоту дискретизации fs, добейтесь того, чтобы дискретное преобразование Фурье показывало верный результат. Покажите, что при «пересечении» частоты 2*f результат меняется на прямо противоположный (если был правильный, то становится неправильным и наоборот)

В отчете должны быть два графика: один соответствует выполнению условия теоремы Котельникова, а другой – его невыполнению. Докажите эти факты для каждого из графиков. Покажите, что ДПФ для одной синусоиды, дискретизованной с разными частотами fs, дает разные результаты. Причем одно из ДПФ должно давать верные результаты, когда частота дискретизации fs удовлетворяет условиям теоремы Котельникова, а другое – неверные – для частоты fs, которая не удовлетворяет условиям теоремы Котельникова.

Содержание отчета

Выполненные задания с полученными графиками, пояснениями к графикам и поясняющим текстом, доказывающим правильность выполнения задания.

Контрольные вопросы

1 Почему в формуле утверждения 1 используется модуль? Какой физический смысл имеет отрицательная частота?

2 Объясните, как вы понимаете теорему Котельникова. Расскажите, как связаны спектры непрерывного сигнала и сигнала, полученного из этого непрерывного при дискретизации с частотой fs.

3* Докажите утверждение 2.

Литература

1. Цифровая обработка сигналов / А. Б. Сергиенко – СПб.: Питер. 2007

2. Солонина А.И. Цифровая обработка сигналов. Моделирование в MATLAB. /А.И. Солонина, С.М. Арбузов.- СПб.: БХВ – Петербург, 2008.

3. Дьяконов В. П. MATLAB 7: Учебный курс. – СПб.: Питер. 2005.

4. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. – М.: ООО «Бином – Пресс», 2006.

5. А. Оппенгейм, Р. Шафер Цифровая обработка сигналов. – Москва: Техносфера, 2006.

6. Сюзев В.В. Цифровая обработка сигналов – М.: RT SOFT, 2014.

Приложение 1. Полезные сведения о дискретизации, теореме Котельникова, быстром преобразовании Фурье

Цифровая обработка сигналов рассматривает методы преобразования сигналов, улучшения качества сигналов, добавления к сигналам необходимых свойств. Чтобы познакомиться с этими методами, необходимо овладеть некоторыми базовыми понятиями и навыками. В данной лабораторной работе вы получите необходимые сведения о практическом применении дискретного преобразования Фурье и теоремы Котельникова.

1.1 Частота, круговая частота, период

Понятия «частота дискретизации», «круговая частота дискретизации», «период дискретизации» (обычно говорят не период, а шаг) важно очень хорошо различать, иначе будут проблемы с построением графиков. Эти три понятия связаны следующей формулой:

fs = 1/ Ts = ws/(2*pi),

где

fs – частота дискретизации,

Ts – шаг дискретизации,

ws – круговая частота дискретизации.

При использовании понятий «частота» и «период» нужно отталкиваться от их определения, весьма интуитивного: частота – это сколько раз в одну секунду повторяется функция, а период – это минимальное время, через которое функция начинает повторяться.

Поскольку обычная частота измеряется в герцах, а 1 Гц = 1/секунда, то в случаях, когда мы взаимодействуем с реальным миром (а не проводим теоретические выкладки), нам удобней использовать обычную частоту.

Утверждение 1. Синус частоты |f| Гц выглядит так: sin (2 * pi * f * x). ■

Далее под частотой подразумевается только обычная частота, измеряемая в Гц.

1.2 Нюансы дискретизации. Теорема Котельникова

Допустим, есть некоторый процесс, происходящий непрерывно во времени (например, изменение погоды, движение спутника по орбите и т.д.). Мы хотим уметь делать с этим процессом следующие вещи: находить закономерности, присущие этому процессу; на основе этих закономерностей строить математическую модель процесса; на основе математической модели восстанавливать процесс (повторять его) и предсказывать «поведение» этого процесса при заданных начальных условиях.

Актуальность решения подобных задач очевидна: конкретно для приведенных примеров это позволит предсказывать погоду и рассчитывать траекторию спутника. Но как находить закономерности? Как описать и проанализировать процесс?

Для каждого процесса выделяют основные параметры (величины), которые его характеризуют в наибольшей степени. Так, смена погоды характеризуется изменением температуры, давления, скорости ветра, влажности; движение спутника характеризуется изменением его положения, скорости, ускорения, угловой ориентации. Зная эти величины, мы можем утверждать, что исходный процесс достаточно точно описан. Действительно, измерив лишь положение, скорость, ускорение и угловую ориентацию спутника, мы уже можем многое рассчитать, прикинуть и даже промоделировать. То же относится и к погоде (погода почти полностью характеризуется температурой, давлением, скоростью ветра, влажностью). Мы не можем учесть все величины и выбираем лишь наиболее значительные, которые и используем для описания и анализа процесса.

Далее возникает следующая проблема: процессы, происходящие в природе, непрерывны. Для анализа данных мы должны их где-то сохранить. Но мы не можем сохранить непрерывный во времени процесс, потому что для такого процесса нам нужно было бы измерить и где-то зафиксировать бесконечное количество значений. Эту проблему решает дискретизация во времени.

Допустим, мы зафиксировали некий непрерывный сигнал, делая замеры каждые Ts секунд. (T – традиционное обозначение периода, s от английского sample – «выборка»).

Для анализа и моделирования непрерывного сигнала нам нужно уметь его восстанавливать из полученных дискретных отсчетов. Основным вопросом дискретизации является следующий: возможно ли однозначно восстановить непрерывный сигнал из соответствующих дискретных отсчетов и что для этого нужно сделать?

Ответ на этот вопрос дает легендарная теорема отсчетов Котельникова-Найквиста.

Теорема Котельникова. Если мы будем производить дискретизацию какого-нибудь непрерывного сигнала с частотой fs, причем fs> 2*B, где B – это наивысшая частота в спектре непрерывного сигнала, то впоследствии мы сможем точно и однозначно восстановить исходный непрерывный сигнал, зная лишь дискретные отсчеты и частоту дискретизации fs. ■

Первая часть выделенного утверждения – это условие теоремы Котельникова. Невыполнение этого условия ведет к искажениям, которые мы рассмотрим в следующем пункте.

Замечание. Значение любой измеренной (зафиксированной) величины квантовано, конечно, не только по времени, но и по уровню. Но вопросом квантования по уровню в данной лабораторной мы заниматься не будем.■

1.3. Периодическое повторение спектра при дискретизации.

Замечание. Поскольку моделирование производится на компьютере, мы в любом случае имеем дело с квантованными сигналами. Когда мы будем задавать «аналоговую» синусоиду, мы подразумеваем дискретную синусоиду со значительной частотой дискретизации, поэтому ее дискретностью можно пренебречь. ■

Пример, иллюстрирующий замечание.

plot ([0:0.1:2*pi], cos ([0:0.1:2*pi])); (2)

Рис. 1. Результат выполнения команды (2)

Допустим, что некий непрерывный сигнал имеет спектр, показанный синим цветом на Рис. 2. Спектр сигнала, полученного из исходного непрерывного сигнала путем дискретизации с частотой fs, показан ниже на Рис.2. Видим, что из-за появления зеленых «двойников» синего спектра происходит наложение «хвостов», и исходный синий спектр необратимо искажается. Данный рисунок иллюстрирует невыполнение условий теоремы Котельникова. Восстановить исходный сигнал по его спектру не представляется возможным, потому что его спектр изменен. Обратим внимание, что «расползание» «двойников» напрямую зависит от частоты дискретизации fs.

Рис. 2. Необратимые искажения исходного спектра возникают из-за невыполнения условия теоремы Котельникова

Если же условия теоремы Котельникова выполняются, то все копии исходного спектра будут находиться на безопасном расстоянии друг от друга (безопасном от наложения), и тогда исходный спектр не будет искажен.

Приведенное выше объяснение весьма элегантно, но не является доказательным. Существует математический аппарат, «ответственный» за сделанные выше преобразования («размножение», наложения), но мы попытаемся на простом примере продемонстрировать, что же происходит. Для этого в качестве пробного сигнала, подвергающегося дискретизации, будем использовать обычную синусоиду.

1.4 Иллюстрация теоремы Котельникова

Утверждение 2. При дискретизации с частотой fs отсчетов в секунду мы не можем различить дискретизованные значения синусоиды частоты f Гц и синусоиды частоты (f + n*fs) Гц, где n – целое число (положительное или отрицательное).■