РПЗ (Неразобранные курсовые проекты), страница 2

Рис.3. Сетка разбиения частицы в одномерной постановке.

При этом для определения изменения параметров элементов разбиения (скорости, площади поперечного сечения) на каждом шаге временной сетки используется система линейных уравнений (7), которая основана на дифференциальных зависимостях изменения скорости движения и распределения напряжений в частице:

Данная система справедлива в условиях, когда частицы малы и время соударения сильно различается с периодом низшей формы колебаний. В данном случае колебаниями можно пренебречь и воспользоваться переходом к статической форме уравнений с добавлением сил инерции.

(7)

В результате расчетов получены уточненные данные о коэффициенте (Таблица 3). Представим рассматриваемый коэффициент в виде отнесенного давления на поверхность преграды к среднему значению предела текучести материала :

Таблица 3.

Применяя уточненные значения коэффициента неравномерности во времени контактных напряжений, аналитическое и численное одномерное решение по отысканию времени взаимодействия совпадают в пределах допустимого отклонения 3%.

Интересным результатом одномерной постановки является возможность получения распределения эквивалентных напряжений в частице по оси . Критерием подобия в данном случае можно считать отношение средней силы инерции к возникающей контактной силе, что можно выразить в виде . Представляя время взаимодействия аппроксимирующей функцией, и разложив массу частицы на множители, получим:

(8)

В безразмерном виде распределение напряжений в зависимости от введенного критерия представлены на рис. 4, где по оси абсцисс нестационарный параметр координаты, а по оси координат критерий напряжения. Результаты расчетов показали, что распределение напряжений в каждый момент времени представляет собой функцию, близкую к линейной с изломом в плоскости границы волны пластической деформации.

Рис.4. Распределение напряжений в безразмерном виде.

Полученные результаты показывают, что при более 90% частицы испытывает за время взаимодействия пластические деформации.

Одномерное численное моделирование позволяет определить время взаимодействия и контактные напряжения с меньшей погрешностью, чем при аналитическом решении с использованием малых расчетных ресурсов ЭВМ относительно многомерного случая (затраты памяти ЭВМ в 4 раза меньше трехмерного случая). Однако, одномерная модель имеет существенные погрешности при определении изменения геометрии частиц, так как использует физическую модель аналогичную аналитическому расчету.

Трехмерная задача

Трехмерное решение задачи численным методом основано на расчете узловой структуры разбиения частицы с образованием совместных взаимосвязей (далее связь) между узлами (Рис.4) сетки разбиения. При этом для узлов характерно наличие массы и составляющих скорости по осям, а для связей наличие сил взаимодействия между узлами, действующих вдоль линии связи, тепловых потоков между узлами. Для расчетов кубических частиц выбрана структурированная сетка элементов, что позволяет снизить по сравнению с неструктурированной сеткой задействованные ресурсы ЭВМ для проведения расчета. Таким образом, каждому узлу, находящемуся внутри частицы, присваивается шесть связей, узлам на поверхности соответствует пять связей, на ребрах – четыре, в углах – три связи.

Рис.4. Узловая структура сетки трехмерной модели.

Каждому узлу соответствуют координаты, составляющие скорости, температура и масса: . Каждому элементу присваивается шесть связей, которым соответствуют шесть сил (9). Силы зависят от модуля Юнга , относительного удлинения и площади поперечного сечения .

(9)

Относительные удлинения определяется из системы:

Модуль Юнга рассматривается как функция относительного удлинения и температуры. Представление модуля Юнга несет на себе физическую модель материала. Рассмотрим построение уравнения для определения Е в виде , где является условным значением при 0К. В линейно- идеализированном упруго-деформируемом материале функции определяются следующими уравнениями (приближение справедливо при температуре элемента ):

В данном случае деформация начала текучести может быть определена как

В силу отсутствия рассмотрения в данной модели связей всех соседних узлов (условно диагональные связи отсутствуют), примем допущения по данному взаимодействию из условия введения коэффициента Пуассона при деформациях, удовлетворяющих закону Гука и из условия постоянства объема при пластических деформациях (9). Учитывая что основные деформации направлены вдоль оси z, алгоритм расчета основан на определении и из кинематических уравнений и дальнейший пересчет изменения координат смежных узлов из системы:

(10)

В (10) средняя деформация вдоль оси z характерная для узла i,j,k может быть определена как:

Коэффициент и показатель определяется из модели упруго-пластичного деформирования материала:

Используя уравнения системы (9) и, проецируя силы на оси выбранной системы координат, получим составляющие по трем осям суммарной силы, действующей на каждый узел.

(11)

В (11) расстояние между соседними узлами определяется из:

Определим зависимости изменения скоростей и координат узлов системы за элементарное время :

(12)

Для определения остаточных пластических деформаций в предлагаемую методику необходимо включить пересчет условной длины недеформированной связи. Исходя из рассматриваемой модели строения материала, в случае превышения удлинения текучести пересчет производится по уравнению . Для определения длин связей в других направлениях используются аналогичные зависимости.

С целью учесть в модели условия совпадения координат разных узлов, что противоречит физической модели, учтем возможность сближения узлов до определенного расстояния между их центрами . Величина данного расстояния определяется из условия строения рассматриваемого материала, функции потенциальной энергии взаимодействия молекул и абсолютного значения сетки разбиения. В приближении отсутствия возможности разрушения узла, можно предположить что . Необходимо отметить, что проверка выполнения данного условия осуществляется вдоль связей (существующих или разрушенных). В случае невыполнения данного условия производится пересчет положения частиц с выполнением условия сохранения кинетической энергии рассматриваемых узлов. Пересчет производится по уравнениям для всех составляющих скоростей, аналогичных (для случая ):

Определим приращение температуры узла за счет изменения его кинетической энергии:

(13)

Функция определяет полноту перехода кинетической энергии в тепло без учета теплопередачи между узлами и является ступенчатой относительно условия текучести материала (модель основана на том, что при пластических деформациях вся кинетическая энергия переходит в теплоту):

Введем уравнения тепловых потоков между узлами частицы. Для этого воспользуемся дифференциальной зависимостью теплопередачи для твердого тела в виде . Для нестационарного случая необходимо наложить систему уравнений на расчетную пространственно – временную сетку, использующуюся в данной модели в форме системы узлов и связей.

(14)

Пересчет температуры каждого узла (в случае присутствия всех связей) производится по формуле:

Для узлов соседних с преградой используется относительная толщина контакта и температурный напор для определения потоков тепла. В рассматриваемой модели используется допущение о постоянной температуре поверхности преграды , что применимо в случаях произведения приведенного размера на теплопроводность для преграды много больше чем для частицы: . С учетом толщины контактного слоя, который является зависимостью от шероховатости поверхности, толщины коррозийного слоя в случае его присутствия и свойств материала получим уравнения для определения теплового потока между поверхностью преграды и элементами частицы.