План, построенным таким образом называется -оптимальным. Функционал  называется критерием оптимальности. Основными свойствами, которыми обладают функционалы Ф, имеющие реальный физический смысл, являются следующие:

• монотонность;

• однородность;

• выпуклость.

Определение. План  называется D-оптимальным, если критерий оптимальности задается соотношением:

()= detD().

Определение. План  называется обобщенно D-оптимальным, если критерий оптимальности задается соотношением:

()= det(A^TD()A),

где A - матрица полного ранга.

Определение. План  называется L-оптимальным, если критерий оптимальности задается соотношением:

()= trLD(),

где L - фиксированная неотрицательно определенная матрица.

5.7 Полные факторные планы

Факторный план называется полным, если, согласно этому плану, измерения проводятся по одному для каждой возможной комбинации уровней. Эксперимент, проведенный по полному факторному плану, называется полным факторным экспериментом.

5.8 Полный факторный эксперимент 2²

Эксперимент 2² рассматривается для двух переменных, которые варьируются на двух уровнях. Возможные комбинации уровней представлены в таблице 5.

Таблица

5.5.

Матрица плана 2²

Номер	x0	x1	x2	x1x2	Отклик
1	1	-1	-1	1	y1
2	1	1	-1	-1	y2
3	1	-1	1	-1	y3
4	1	1	1	1	y4

Предполагается, что в данном случае функция отклика имеет вид:

y=₀x₀+₁x₁+₂ x₂+₂ x₁x₂,

где x₀ - фиктивная переменная;

x₁, x₂ - варьируемые переменные;

y - наблюдаемая переменная.

Такой эксперимент представляет собой полный факторный эксперимент 2². Из структуры матрицы плана видно, что эксперимент является ортогональным. В связи с этим оценки параметров некоррелированы и дисперсионная матрица плана равна:

D_i=²/N.

Однако точность результатов при реализации неповторяющихся реализаций, т.е. одного блока весьма невелика, поэтому обычно проводятся повторные эксперименты при одних значениях факторов.

5.9 Полный факторный эксперимент 2³

Пусть зависимая переменная определяется тремя факторами:

y=f(x₁, x₂, x₃).

Общее число вариантов вариации независимых переменных равно 2³. В каждом варианте проводится по одному наблюдению функции и для функции:

.

Матрица плана полного факторного эксперимента приведена в таблице.

Таблица

5.6.

Матрица плана ПФЭ

№	x0	x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3	x1x2x3	y
1	1	-1	-1	-1	1	1	-1	-1	y1
2	1	1	-1	-1	-1	-1	1	1	y2
3	1	-1	1	-1	-1	1	1	1	y3
4	1	1	1	-1	1	-1	-1	-1	y4
5	1	-1	-1	1	1	1	-1	1	y5
6	1	1	-1	1	-1	-1	1	-1	y6
7	1	-1	1	1	-1	1	1	-1	y7
8	1	1	1	1	1	-1	-1	1	y8

Матрица плана ортогональна, оценки параметров некоррелированы и дисперсионная матрица равна:

D_i=²/N.

В общем случае для полного факторного эксперимента 2 оценки коэффициентов являются также несмещенными, и их дисперсии одинаковы. Однако при больших значениях k реализация ПФЭ становится практически невозможной из за быстрого роста количества переменных.

Statistica. Построение полного факторного плана выполняется в пункте "Two-Level Factor". Для генерации плана указывается и количество факторов (3) количество реализаций (8) при соответствующем количестве блоков. На рис.7. приведен экран выбора.

Экран выбора плана

Рис.

5.7.

Оценки эффектов для модели данных из приложения приведены в табл.7.

Таблица

5.7.

Эффекты взаимодействия факторов

	Effect	p	-95,% Cnf.Limt	+95,% Cnf.Limt	Coeff.	-95,% Cnf.Limt	+95,% Cnf.Limt
Interc.	4,43	,017	2,90	5,95	4,43	2,90	5,95
(1)A	4,85	,031	1,80	7,90	2,43	,90	3,95
(2)B	8,03	,019	4,98	11,07	4,01	2,49	5,54
(3)C	11,49	,013	8,44	14,53	5,74	4,22	7,27
1 by 2	-,28	,457	-3,32	2,77	-,14	-1,66	1,39
1 by 3	-,21	,535	-3,26	2,83	-,11	-1,63	1,42
2 by 3	,76	,195	-2,29	3,81	,38	-1,14	1,90

Приведенные в таблице числовые значения оценок эффектов факторов равняются удвоенным значениям коэффициентов при формировании вектора данных модели. Результаты анализа эксперимента по регрессионной модели дают оценки всех параметров регрессии, которые задавались при генерации данных. В табл.6 приведены численные оценки параметров, которые очень близки к теоретическим, что подтверждает робастность данного факторного плана и модели данных.

Удобной формой графического представления эффектов факторов в модели является диаграмма Парето, представляющая масштабированные столбцы с указанием имен факторов и числовых оценок. На рис.8. приведена диаграмма Парето наших модельных данных.

Из диаграммы наглядно видно, что значения эффектов от одиночных взаимодействий, только A, только B или только C, значительно превышают эффекты совместного взаимодействия факторов AB, BC и AC.

Диаграмма Парето эффектов факторов

Рис.

5.8.

Еще одной удобной формой визуализации результатов анализа являются графики квадрата (для двух факторов) и графики куба (для трех). График куба приведен на рис.9.

График куба факторного плана

Рис.

5.9.

Каждая вершина куба промаркирована численными значениями факторов и эффектов. Из таблицы Парето наиболее значимыми отмечаются факторы B и C. Для анализа влияния одного фактора удобны плоские формы представления интервалов рассеяния. В нашем случае для выделенных значимых факторов B и С построим график интервалов, приведенные на рис.10.

График интервалов эффекта одного фактора

	Рис.	5.10.

Из сравнения графиков можно заметить, что B (левый график) имеет существенно больший разброс, чем C (правый график).

5.10 Полный факторный эксперимент 2^k

Рассмотрим построение матрицы плана ПФЭ 2^k в предположении, что:

y=f(x₁, x₂, ... , x_k).

Из предыдущих разделов видно, что матрица плана 2³ получается путем повторения матрицы плана 2² при x₃=-1 и x₃=1. Этот результат обобщается на случай эксперимента 2^k и представления его матрицы через матрицу факторного плана 2^k-1.

Утверждение. Матрица плана 2^k может быть представлена в виде:

,

где E_k=(1,1, ... , 1)^T - 2^k -мерный вектор; - матрица плана ПФЭ 2^k.