Ультразвуковые криволинейные волноводы

изгибных продольных колебаний.

Область применения: стоматология.

А – А В – В

Ограничимся рассмотрением УЗ волноводов, состоящих из прямолинейных участков повернутых друг относительно друга на некоторый угол α.

Изгибно – продольные колебания

в одной плоскости.

1 – для продольных колебаний

2 – для изгибных колебаний

Подставим (2) в (1):

Граничные условия заданы:

Матрица ГУ:

При произвольном Zі можно записать:

(вектор в конце участка равен вектору в начале участка)

Рассмотрим участок «клина»:

а) абсолютно жесткий

б) невесомый

Отсюда следует, что:

Рассмотрим силы, действующие на клин:

Запишем матрицу перехода:

Учет массы клина:

На ось z:

С учетом момента инерции:

Расчет УЗКС с параллельными

распределенными элементами.

I – участок замыкающей системы (внутренний элемент, оба конца которого соединены с главной системой).

Только один край соеденен с подвижной частью.

Если введем абсолютно жесткий диск, это позволит решить ряд задач, например таких, как эндоскопические операции (разрушение камней).

В данном случае каждый из волноводов раскроется.

В УЗ можно сделать волноводы со скальпелем, совершающим колебания по касательной. Аппараты по изменению кривизны глаза (применение в офтальмологии), выполняют насечки (надрезы от 8 до 16) на роговице.

В одном стыке только один элемент, что быстрее и проще решает задачи:

Количество элементов R,L внутренних и единичных элементов не ограниченно. В заданной точке волновода может быть подсоединен только один элемент кроме единичного.

Зоны замыкающих элементов не должны пересекаться.

I – участок замыкающей системы;

1,2,3 – участки главной системы.

Структура сложной УЗКС:

С
труктура элемента для разрушения камня:

М6 – один из элементов метелочки, все остальные включаются через него (так как он считается главным элементом).

Все остальные элементы можно удалить.

Перейдем к трехэлементной системе. М1М2 – останутся без изменений, а влияние правого элемента заменим какой – либо матрицей.

УЗ системы продольных колебаний

с параллельными элементами.

Имеем жесткий стык (0).

Условие для стыка:

Д
ля “0” элемента:

О
тсюда следует:

Подставим (4) в (3):

Решение этой задачи сводится к следущему:

Если подставим заделку, то матрица (*) изменится.

Схема решения задач с

закрытыми элементами.

0 – замыкающий элемент

{} – как единый модуль.

Найти матрицу преобразования I.

Z=l

И згибные колебания ультразвуковых систем с параллельными распределенными элементами.

f₁-f₂ ≈ Гц- для спектра частот

Рассмотрим УЗКС с левым открытым элементом.

Найдем :

Д ля стыка запишем:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(5^’)

Соотношение (5) справедливо всегда.

1случай левый край дополнительного элемента свободный

Соотношение 5^’ становится:

(5^’’)

Первые два уравнения (5^’’) решим относительно . Получим:

(6)

(7)

(8)- детерминант системы со свободными краями.

Подставим (6),(7),(8) в (5^”):

(9)

(10)

(9) и (10) подставим в (3) и (4):

(11)

Запишем матрицу перехода L:

(12).

Эта матрица для левого дополнительного свободного элемента. Таких матриц может быть четыре.

Распределенное взаимодействие ультразвуковых волноводов

– инструментов с биологическими тканями.

(Частный случай – продольные колебания)

Заполнен жидкостью (символ )

Основные допущения:

1. канал цилиндрический

2. течение ламинарное

3. поперечными деформациями пренебрегаем

4. жидкость сжимаема с коэффициентом -объемный модуль

5. напряженно – деформируемое состояние жидкости однородно в поперечном сечении.

Рассмотрим элемент dz без жидкости.

Трение вязкое

-коэффициент трения жидкости о стенки волновода,

q – распределенная сила трения

(1)

(2)

(1) и (2) – система уравнений для волновода, но решить ее не можем ,так как не знаем => надо 2 уравнения для движения жидкости.

Рассмотрим элемент dz жидкости.

(3)

-коэффициент потерь в жидкости.

, где

- пространственный коэффициент затухания (поглощения).

(4)

(5)

Подставим (5) в (1) и (2) = > система 4^го порядка :

(6)

(7)

(5) в (1^’):

(1’)

Группируем действительные и мнимые части.

(8)

(9)

(10)

(11)

(12) и (13) аналогично из (4)

Распределенные взаимодействия ультразвуковых волноводов инструментов продольных колебаний с неподвижной биологической тканью.

, полагая (1)

Система (1),(2) упрощается и принимает вид:

(2)

(3)

Используя подстановку (5) система уравнений (2) и (3) принимает вид:

Полагая (8) и (9) , получаем уравнение: (4)

Решение жестких систем дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения нужно нормировать чтобы не было проблем с относительной погрешностью .

Нормировка:

Пусть имеется система уравнений:

( 1)

1 шаг. Нормировка переменных.

Введем (2),

- безразмерное перемещение

- безразмерная сила

Подставим (2) в (1):

(2^’)

=>

(3)

В процедуре вычисления площади

Нормировка при изгибных колебаниях.

, , , ,

- момент инерции динамического сечения при z=0

→ → колебаний много → сдвиг решения сначала мал, но если периодов много, то сдвиг очень большой.

(мягкая система)

(жесткая система)

По мере увеличения аргумента надо методы

усложнять.

Прогонка по Годунову. Ортогонализация фазовых переменных в промежуточных точках.

- должны быть линейно независимые после интегрирования.

Можно говорить, что эти вектора взаимно ортогональны в некотором пространстве.

В точках 1,2 осуществляется ортогонализация векторов. Число ортогонализации по .

- матрица разворотов векторов.,

- вектор перед началом процедуры ортогонализации.

- вектор фазовых переменных после процедуры ортогонализации.

1. Вычисляется матрицы

;

1. Вычисляется

;

, произвольные константы.

Для правого края можно записать:

отсюда находятся константы:

Если неоднородные системы то добавляется , - неоднородные граничные условия.

Оптимизация ультразвуковых колебательных систем.

Оптимизация- нахождение экстремумов.

1 этап: Нелинейное программирование- поверхности, ограниченные какими-либо кривыми плоскостями. Следовательно, изначально надо исследовать на выпуклость. Затем приступать к оптимизации.

2 этап:

- вектор фазовых переменных

- вектор управления

Это задачи синтеза системы. Надо найти уравнения, которыми она опишется.

3 этап: Надо сформулировать функционал, который и будем исследовать на экстремумы.

Рассмотрим подробнее:

1. Уравнение движения для стационарных колебаний:

(1)

Граничные условия:

(2)

2. Ввод ограничений на фазовые переменные: (3)

Ввод ограничений на управление: (4)

3. Функционал: (5)

В результате задача состоит в отыскании максимумов и минимумов данного функционала при заданных ограничениях.

(6)

Задача: Ультразвуковой волновод продольных колебаний с некоторыми ограничениями:

• коэффициент усиления-

Запишем уравнение движения для стационарных колебаний:

Коэффициент усиления:

- не меняются;

- управляющие переменные (надо варьировать данные переменные для подстройки коэффициента усиления).

Запишем функционал:

- задано, или одну из длин, которую удобно- не меняем.

Каждый раз меняем l₁, l₃, D₀ и рассчитываем коэффициент усиления M. Затем находим функционал Ф и смотрим, подходит он или нет.

Нахождение функционала Ф- сложная задача. Поэтому, в основном, используют численные методы.

Добавляют еще переменные:

- добротность;

- фактор формы (чем больше его значение, тем лучше).

Функционал Ф надо сделать как можно меньше, поэтому делим на фактор формы.

- константы.

Инженерные методы расчета с элементами оптимизации.

Пример для продольных колебаний.

Волновод имеет следующий вид:

Задано:

Найти:

Граничные условия: Свободные края

Решение:

Согласно граничным условиям можем записать:

- вектор состояния в начале волновода;

- вектор состояния в конце волновода.

Запишем связь векторов состояния в начале и в конце волновода с помощью матриц перехода:

Распишем матрицы перехода в данном уравнении:

Примем