Занятие 3. Устойчивость по первому приближению (Семинарские занятия)

Занятие 3. Устойчивость по первому приближению.

Рассмотрим систему уравнений

, i = 1, ..., n (1)

где , i = 1, ..., n.

Предположим, что правые части системы (1), т. е. функции f_i(x₁, x₂, ..., x_n), i = l, 2, ..., n, дифференцируемы в начале координат достаточное чисто раз. Разложим их по формуле Тейлора в окрестности начала координат:

где , а F_j − члены второго порядка малости относительно x₁, x₂, ..., x_n. Тогда исходная система (1) может быть записана в виде

, i = 1, ..., n

Рассмотрим систему

, i = 1, ..., n (2)

называемую системой уравнений первого приближения для системы (1).

Справедливо следующее утверждение: если все корни характе­ристического уравнения системы (6) имеют отрицательные действи­тельные части, то точка покоя системы (6), а также исходной' системы (5) асимптотически устойчива; если хотя бы о тип из корней характеристического уравнения системы (6) имеет положительную действительную часть, то точка покоя системы (6) (и системы (5)) неустойчива.

Говорят, что в этих случаях возможно исследование системы (5) на устойчивость по первому приближению. В остальных случаях такое исследование, вообще говоря, невозможно, так как начинает сказываться влияние членов 2-го порядка малости.

Пример 6. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

dx/dt = 2x + 8 sin y

dу/dt = 2 − е^x − 3y − cos у

Разлагая функции sin у, cos y, е^x по формуле Тейлора и выделяя члены 1-го поряока малости, можем переписать исходную систему в виде

dx/dt = 2x + 8 y + F₁(x, y)

dу/dt = − x − 3y + F₂(x, y)

где F₁, F₂ − члены 2-го порядка малости относительно х и у. Соот­ветствующая система уравнений первого приближения вида (2) запишется следующим образом:

dx/dt = 2x + 8 y

dу/dt = − x − 3y

Корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части. Следовательно, точка покоя этой, а также исходной систем устойчива.