3. Геометрический

Единичным вектором для данной функции называется тот вектор, значение функции на котором равно 1.

Носителем данной функции – совокупность всех единичных векторов этой функции (N_f – носитель функции f)

Н а векторах, помеченных звездочкой, функция обращается в 1.

N_f = {001, 011, 100, 110} = [1,3,4,6] [] – указаны номера векторов.

1. В виде формулы.

Функция f зависит от переменной x_i фиктивно, если для любых двух наборов значений переменных, отличающихся только значением переменной x_i, значения функции f совпадают.

Будем говорить, что f зависит от переменной x_i существенно, если существуют такие два набора значений, отличающихся только значением переменной x_i, на которых значения функций различно.

Фиктивные переменные у функции можно добавлять и исключать.

Две булевы функции называются равными или равносильными, если одну можно получить из другой путем добавления и изъятия фиктивных переменных.

Строим таблицу функций при n = 1.

X	0	X	_ X	1
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Таблица всех элементарных булевых функций, применяемых в записи формул

X	Y	0	&	_____ YX	X	___ XY	Y	+	V		~	_ Y	X Y		_X	YX	/	1
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1		1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1		1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0		0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0		1	0	1

Все эти функции от двух аргументов мы и будем называть элементарными булевыми функциями.

Основными элементарными функциями являются конъюнкция, дизъюнкция и отрицание.

Элементарные булевы функции удовлетворяют всем аксиомам булевой алгебры.

Суперпозиции булевых функций

Ф = {ф₁…ф_k}

F называется элементарной суперпозицией функции из множества Ф, если она получена одним из следующих способов.

1. Переименование какого-нибудь аргумента в одной из функций системы (возможно отождествление аргумента).

2. В одну из функций системы вместо любого аргумента ставится значение любой функции из этой системы.

Ф₁ = {Y…x_n}

Фi = (x1 … ф_j(x₁…x_n) … x_n)

Ф⁽¹⁾ – множество всех элементарных суперпозиций из системы Ф.

Ф^(k+1) – множество всех элементарных суперпозиций из систему Ф^k.

Функция g называется суперпозицией функций из системы, если

 g Фⁿ

Это означает, что g можно получить из функции системы Ф, применяя конечное число раз операцию элементарной суперпозиции.

Конкретное выражение суперпозиции будем называть формулой над системой Ф.

G = F_ф

Суперпозиция элементарных булевых функций – формула.

Для удобства записи договоримся, что отрицание – самая сильная операция. Следующая – конъюнкция, а остальные – равносильны.

_ _

X+Y = XY V XY

_ _

X ~ Y = XY V XY

__

X  Y = X V Y

_ _

X  Y = X Y

Лекция 4

Дизъюнктивные нормальные формы (ДНФ)

Конъюнктивные нормальные формы (КНФ)

Введем обозначения

_

X^а = X, если а = 1 и X, если а = 0

Элементарной конъюнкцией (ЭК) называется выражение вида

X₁^a1 X₂^a2…X_n^an

ЭК называется правильной, если все входящие в неё переменные различны.

Правильная ЭК называется полной относительно данного набора переменных, если в неё входят все эти переменные.

Для элементарных дизъюнкций (ЭД) – аналогичный набор определений.

ЭД – выражение вида

X₁^a1 V X₂^a2 V…V X_n^an

ДНФ – дизъюнкция разных правильных элементарных конъюнкций.

__

X₁ V X₁X₂ V X₁X₂X₃ – ДНФ.

ДНФ называется совершенной (СДНФ), если все входящие в неё элементарные конъюнкции полны относительно данного набора переменных.

КНФ – конъюнкция разных правильных элементарных дизъюнкций.

СКНФ – совершенная КНФ. У нее все ЭД полны.

Теорема.

Любая булева функция, тождественно не равная нулю, представима и притом единственным образом в виде СДНФ по формуле:

F(x₁… x_n) = V(X₁^a1 X₂^a2…X_n^an)

Доказательство

1. Существование

1. F = G

N(f)  N(G) – носители функции.

(F) F(…_n) = 1

G() = G(…_n) = (^…_n^n₎ V (…) , где пустые скобки – оставшееся выражение.

Подставив координаты, получим:

1*1V(…) = 1 )  (G) N(F) = N(G)

2.  N(G)

G(.._n) = 1 – тогда, когда хотя бы одна

^^ …n^n = 1   =  …n = _n  =   N(G) = N(F)

Первая часть доказана.

1. Единственность

Посчитаем, сколько полных ЭК может быть

Всего – 2ⁿ = N (по перестановке комбинаций)

Число СДНФ – 2^N-1 – число различных формул СДНФ.

Это число совпадает с числом различных булевых функций от n переменных (за исключением константы 0).

Так как каждой функции ставится в соответствие формула СДНФ и число разных формул и разных функций одинаково, то каждой функции соответствует только одна формула. Теорема доказана полностью.

Замечание. Единственность доказана при фиксированном числе аргументов n. Так как, вводя фиктивные переменные, мы будем менять вид формулы.

Следствие. Любая булева функция представима формулой, в которую входит только конъюнкция, дизъюнкция и отрицание.

Принцип двойственности

F*(x₁…x_n) – двойственная функция,

_ _ _

F*(x₁…x_n) = F(x₁…x_n)

Например

____

_ _

(XY)* = XY = X V Y

Чтобы получить вектор двойственности функции при ее табличном задании, переворачиваем таблицу на 180 градусов и берем отрицание от получившейся функции.

Теорема. Принцип двойственности.

Если F (x₁…x_n) является суперпозицией функций f_i (i = 1...k), то двойственная к ней функция является такой же по структуре суперпозицией, но от двойственных функций.

Доказательство следует из определения двойственной функции.

_ _ _ _ _ __

F*(x₁..x_n) = F(x₁…x_n) = f(f₁…f_k) = f*(f₁…f_k)

Следствие

f(x₁..x_n) = K₁ V K₂ V… V K_n – СДНФ

f*(x₁..x_n) = D₁ D₂ … D_n - СКНФ

Используя принцип двойственности, можно доказать следующую теорему.

Любая булева функция, тождественно не равная единице представима и притом единственным образом в виде СКНФ.

Доказательство получается из самого принципа двойственности и его следствий.

Задача минимизации ДНФ.

Определения:

1. Рангом правильной ЭК называется число разных переменных, входящих в нее.

2. Рангом ДНФ называется сумма рангов всех ЭК, входящих в ДНФ.

3. Минимальной ДНФ или D_min для данной функции называется ДНФ, которая равна этой функции и имеет наименьший ранг.

Задача минимизации ДНФ для данной функции состоит в нахождении минимальной ДНФ.

Число ДНФ при фиксированном n – конечное (n - число переменных)

Тривиальный алгоритм минимизации ДНФ состоит в следующем:

1. Выписываем все возможные ДНФ от данного числа n в порядке возрастания их рангов.

2. Последовательно сравниваем нашу функцию с каждой из этих ДНФ. Первая ДНФ, которой равна наша функция имеет минимальный ранг.

Алгоритм представления функции в виде СДНФ.

1. Выписываем носитель функции.

2. Для каждого вектора из носителя выписываем конъюнкцию соответствующих переменных. (если координата равна нулю, переменную пишем с отрицанием, если единице – без отрицания). Это и будут все полные ЭК.

3. Выписываем дизъюнкцию всех этих ЭК.

Алгоритм представления функции в виде СКНФ.

1. Выписываем носитель функции

2. Для каждого вектора из носителя выписываем дизъюнкцию соответствующих переменных. (если координата равна нулю, переменную пишем без отрицания, . если единице – с отрицанием). Это и будут все полные ЭД.

3. Выписываем конъюнкцию всех этих ЭД.

Лекция 5

Продолжение темы «ДНФ»

Носитель элементарной конъюнкции ранга R будем называть интервалом ранга R.