Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Документы » Федоров В.Н. - Введение в теорию графов

Федоров В.Н. - Введение в теорию графов, страница 4

2017-07-12СтудИзба

Описание файла

Документ из архива "Федоров В.Н. - Введение в теорию графов", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дискретная математика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "дискретная математика" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "Федоров В.Н. - Введение в теорию графов"

Текст 4 страницы из документа "Федоров В.Н. - Введение в теорию графов"

Рисунок 2.1

2.2. Векторная форма представления графов

2.2.1. Задание графа массивом преемников вершин

Матрица смежности отображается по строкам одномерным массивом FO, в котором для каждой вершины, начиная с первой, указываются вершины преемники. Списки преемников отдельных вершин разделяются символом Ø

2

5

Ø

1

3

6

Ø

Для неорграфа и мультиграфа массив имеет длину 2m+n, для орграфа m+n.

Если на вершинах и/или ребрах (дугах) заданы веса, то используются дополнительные массивы, в которых элементы содержат значения весов для вершин и/или ребер.

2.2.2. Задание графа массивом предшественников вершин

Здесь матрица смежности отображается по столбцам. Форма массива FI такая же, что и у FO.

Для неорграфов и мультиграфов FO и FI совпадают.

2.3. Контрольные вопросы

  1. Какие формы представления графов вы знаете? Приведите примеры.

  2. Какие матричные представления графов вы знаете?

  3. Чем отличаются матричные представления неорграфа и орграфа?

  4. В чем заключается достоинство и недостаток матрицы смежности?

  5. Как задаются веса вершин и ребер (дуг) при матричной форме задания графа?

  6. Какие векторные формы представления используются в теории графов? Как при такой форме можно задать веса вершин и ребер (дуг) графа?

  7. Опишите алгоритмы перехода от одной формы представления графа к другой (от матрицы смежности к матрице инцидентности и обратно, от матричной формы к векторной форме и обратно).

3. Операции над графами

3 .1. Дополнение графа

Дополнение графа G(V,E) до полного графа

(рис. 3.1).

Обратите внимание на стрелки !!!

3.2. Объединение

G1 G2 = G(V1 V2, E1 E2) (рис. 3.2).

Обратите внимание – ребра е6 и е10 – это разные связи вершин 2 и 4 (разные дороги между населенными пунктами 2 и 4).

Р
исунок 3.2

Примечание.

В следующих двух операциях участвуют графы G1(V1,E1) и G2(V2,E2), показанные на рис. 3.2.

3.3. Пересечение

G1 G2 = G(V1 V2, E1 E2) (рис. 3.3)

при условии

3.4. Кольцевая сумма

G1 G2 = G(V = V1 V2, E = E1 E2 = E1\E2 E2\E1) (рис. 3.4).

Замечание. Операции 3.2 – 3.4 коммутативные бинарные операции, но могут быть расширены на большее число графов.

Р
исунок 3.3 Рисунок 3.4

3.5. Соединение

G
1 + G2 = G(V=V1 V2, E=E1 E2 ) рис. 3.5.

3.6. Произведение

В произведении графов вершины обозначаются парами ab, где символы a и b – обозначения вершин в G1 и G2 соответственно.

П
ример
(рис. 3.6). Ребро (1x,1y) E, так как первые символы совпадают (1 = 1), а в G2 есть ребро (x,y). Аналогично и для других ребер.

Рисунок 3.6

Неформально: Произведение G1 G2 означает, что каждая вершина G1 заменяется на копию Ga = G2, а каждая вершина G2 заменяется на копию Gb = G1.

3.7. Композиция

В композиции графов, как и в произведении графов, вершины обозначаются парами ab, где символы a и b – обозначения вершин в G1 и G2 соответственно.

Пример (рис. 3.7).

Н
еформально: Композиция G1[G2] означает, что каждая вершина G1 заменяется на копию Ga = G2, а затем, если (a1,a2) E1, то между любыми вершинами b1 из Ga1 и b2 из Ga2 проводится ребро (дуга) (b1,b2).

Рисунок 3.7

3.8. Разность

G1(V1,E1)\G2(V2,E2) = G(V1\V2, E),

где E = {[x1,x2]| x1,x2 V1\V2 [x1,x2] E1 [x1,x2] E2}

Задание. Приведите пример самостоятельно.

3.9. Удаление вершины

G(V,E)\{xi}.

Из графа удаляется вершина вместе с инцидентными ребрами.

В результате получается подграф, содержащий все ребра инцидентные множеству V\{xi}.

3.10. Удаление ребра

G\{ei}

Удаляется ребро, но при этом сохраняются концевые вершины, получается часть графа.

3.11. Добавление вершины

К заданному множеству вершин {х1, x2, ... , xk} добавляется новая вершина x, смежная с х1, x2, ... , xk.

G(V1,E1) + {x} = G(V1 {x}, E = E1 (x,xi), xi V1), {x} V1.

3.12. Добавление ребра

Для заданной пары вершин х, у добавляется ребро e.

G(V1, E1) + {e} = G(V1, E = E1 {e}), {e} E1.

3.13. Стягивание подграфа A в вершину

В результате выполнения этой операции получается граф

G(V1, E1) = G(V, E)/A, A V,

V1 = V\A {x},

E1 = E\{e = [x1,x2]| x1, x2 A} {e = [x,u]| u Г(A)\A}.

Г(А) – множество вершин, смежных с вершинами А.

3.14. Замыкание или отождествление вершин

В
ершины xi и xj отождествляются (рис. 3.8), т.е. они заменяются одной новой вершиной, при этом все ребра, инцидентные xi и xj, становятся инцидентны новой вершине.

Рисунок 3.8

3.15. Подразбиение ребра

Удаляется заданное ребро u=[х, у] и добавляется вершина z и цепь (x, u1, z, u2, у).

3.16. Контрольные вопросы

  1. Что такое дополнение графа и как оно определяется? Приведите математическое представление и графический пример дополнения графа.

  2. Как выполняются операции объединения и пересечения графов? Приведите примеры.

  3. Приведите примеры определения результата выполнения кольцевой суммы и разности над графами.

  4. Выполните операции 3.2 – 3.8 над двумя графами на двух вершинах, в одном из которых вершины соединены ребром, а в другом дугой. Для операций, у которых результат зависит от местоположения графа в формуле, приведите два варианта решения.

  5. Поясните, как выполняется операция стягивания подмножества вершин в одну вершину.

  6. Поясните, как выполняется подразбиение ребра.

4. Маршруты и циклы

Довольно часто на графах возникают такие задачи:

  1. Есть ли в графе маршруты длины k?

  2. Сколько маршрутов длины k имеется в графе?

  3. Каковы эти маршруты?

Аналогичные задачи возникают и для циклов.

Рассмотрим решение этих задач.

4.1. Есть ли в графе маршруты длины k?

а) Составить матрицу смежности графа А.

б) Возвести А в степень k, используя бинарные операции, ,:

А1А,

А2А*А,

А3А2*А, но не А*А2,

Аk = Аk–1А , но не А Аk–1.

* – символ умножения.

в) Анализ элементов позволяет оценить наличие маршрутов длины k между вершинами i и j:

если = 1 , то маршруты длины k в графе имеются;

если = 0 , то маршрутов длины k между вершинами i и j нет.

4.2. Сколько маршрутов длины k имеется в графе?

а) составить А,

б) возвести А в степень k, используя правила обычного умножения матриц,

в) анализ элементов позволяет оценить количество маршрутов длины k:

= число – количество маршрутов длины k.

4.3. Какие маршруты длины k имеются в графе?

а) Присвоить всем ребрам и дугам графа имена в виде букв с индексами или без них.

Составить матрицу смежности графа А так, что если вершины i и j соединены ребром (дугой) с именем x, то элемент матрицы aij будет равен x.

б) возвести матрицу смежности А в степень k, производя умножение и сложение по правилам:

Умножение – a & b = ab ba,

Сложение – a v b = b v a,

При этом c(a v b) = ca v cb ac v bc,

aa = 0 – так как ищем кратчайшие маршруты и повторение ребер (дуг) недопустимо,

aab = 0,

0b = 0.

в) анализ элементов позволяет определить маршруты длины k.

При решении таких задач для маршрутов – предельный показатель степени k = n – 1, так как ищем кратчайшие маршруты.

Для циклов задачи решаются аналогично, только здесь:

– предельный показатель степени k = n,

– наличие циклов определяется по значениям элементов .

Если требуется определить кратчайшие маршруты или циклы с началом в заданной вершине, то в степень следует возводить строку матрицы смежности этой вершины.

Пример: Дан граф (см. рис. 4.1).

Требуется ответить на вопрос: В графе есть маршрут (1,3)?

С
оставим матрицу смежности

А1 = .

В А1 элемент а1,3 = 0, следовательно, маршрута (1,3) длины 1 в графе нет.

Возводим А в степень 2 (умножение и сложение элементов булевские)

А2 = * = .

Элемент = 0. Маршрута (1,3) длины 2 в графе нет.

Возводим А в степень 3.

А3 = A2 * A = * = .

Элемент = 1, следовательно, маршрут (1,3) длины 3 в графе есть.

Сам маршрут находится так:

= а2,3 .

Так как = а1,4 а4,2 , то

= а1,4 а4,2 а2,3

и маршрут будет таким 1–4–2–3 (читаем индексы).

Для получения всех кратчайших маршрутов воспользуемся методом, изложенным в п. 4.3.

Присвоим всем ребрам и дугам имена в виде букв (см. рис. 4.2) и составим матрицу смежности

A = .

Для получения всех кратчайших маршрутов длины k возведем A в k–ю степень, выполняя умножение и сложение по правилам п. 4.3.

анализ элементов позволяет определить маршруты длины k.

Маршруты здесь задаются последовательностью ребер и дуг.

Возводим матрицу смежности во вторую степень

A2 = * = .

Получили все маршруты длины 2.

Возводим матрицу смежности в третью степень (у графа число вершин n = 4, поэтому 3 – это предельный показатель степени, если ищем кратчайшие маршруты)

A3 = * = .

Элементы содержат маршруты длины 3.

4.4. Контрольные вопросы

  1. Как определить – есть ли в графе маршруты длины k? Сколько таких маршрутов в графе? Какие они?

  2. Как определить – есть ли в графе цикла длины k? Сколько таких циклов в графе? Какие они?

  3. Как определить – есть ли в графе маршруты длины k с началом в заданной вершине? Сколько таких маршрутов в графе? Какие они?

  4. Как определить – есть ли в графе циклы длины k с началом в заданной вершине? Сколько таких циклов в графе? Какие они?

  5. Чем отличаются операции над графами п. 4.3 от аналогичных операций над логическими переменными и почему?

5. Кратчайший маршрут во взвешенном связном графе

Предварительное замечание.

Е
сли имеем орграф, то можно удалить вершины источники и стоки, не являющиеся началом и концом искомого маршрута, и так как кратчайший путь не проходит дважды ни через дугу, ни через вершину, то дуги, входящие в вершину начала пути и выходящие из конца пути, можно также исключить (см. рис. 5.1). После их исключения могут образоваться вершины источники, изолированные и тупиковые вершины, и даже компоненты связности, не содержащие вершин начала и конца маршрута. Их также следует исключить.

В неорграфе можно исключить висячие вершины.

Рисунок 5.1

5.1. Волновой алгоритм

Вариант 1:

Вес ребра – 1 (нет ребра – 0).

s – начало маршрута,

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее