1 Понятие о равновесии. Уравновешенная система сил. Равнодействующая системы сил. Силы внешние и внутренние(в-2.,3.) Внешние нагрузки: Р –сосредоточ (а<< h) q – интенсивность распределенной нагрузки. Равнодействующая = q*a (площадь эпюры q) Преложена равн-щая в центре тяжести эпюры. М – пара сил (сосредоточенный момент) Внутренние силы – это силы взаим-ия м/д отдельными эл-ми конструкции, возник-ие под действием внеш сил т.о. если Fвнеш отсутствует, то Fвнут = 0. R- главный вектор MR гл векторный момент. Nя- продольная сила (раст\сжат) Qx или упоперечная (сдвиг\срез) Мк (z) крутящий момент (кручение) Миз (х или у)изгуб-щий момент (изгиб чистыйМи≠0 поперечный Ми≠0 Q≠0 2 Аксиомы статики. Связи, реакции связей. 1Если на свободное абс. Твёрдое тело действует 2 силы, то тело может нах-ся в равновесии если эти 2 силы= и направлены по 1 прямой в противопол-е стороны. |P1|=|P2| Равнов-е – это состояние покоя или равномерного движ-я по отношению к др. телам. 2.Действие данной системы сил на тело не изменится, если к ней прибавить или от неё отнять уравновешенную систему сил. Две системы сил отличающ-ся на уравнов-ую систему наз-ся эквивалентными. 3.Равнодействующая 2 сил, сходящихся в 1-ой точке, изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах. 4.III з-н Ньютона: Всякое действие одного тела на др вызывает такое же по вел-не, но противопп-е по направлению противодействие. 5.Любое не свободное тело можно рассматр-ть как своб-ое, если мысленно отбросить связи и заменить их реакциями. (Р-ция связи – это усилие, с которым опора препятствует перемещению тела в опред. направлении. Р-я всегда противоп-на внешним воздействиям. 6.Принцып отвердения: Равновесие деф-ого тела, наход-ся под действием системы сил, не нарушается, если считать тело абсолютно твёрдым. Все ур-я равновесия в статике будем применять к свободному телу поэтому кроме заданных внеш сил необходимо опр и прилож к нему р-ции связи. Связи: 1)Свободное опирание тела на связь 2)Гибкие связи – это нити, цепи, тросы, работают на растяж-е р-ции напр вдоль нити 3)Жесткие стержни, работают на растяж\сжа р-ции напр вдоль стержн 4)Шарнирно-подвижная опора(1р-ция) 5)Шарн-неподвиж опора (2 реакции) 6)Жёсткая заделка (3 реакции) 3 Система сходящихся сил. Главный вектор системы сил. Условия равновесия системы сходящихся сил. Система сходящихся сил (2 или более сил, сход в 1 точке) может быть заменена 1-й силой, которая наз-ся равнодействующей ‾R∑(‾Pi). Урав-новешивающая сила R’= по модулю равнодействующей, но напр по той же прямой в противоположную сторону.|R’|=|R| опред равнодействующей: 1)Графическое суммирование 2) Аналитическое Ry=∑(Pi)=P1sin(a)+P2 sin90+Pnsin(b)- алгебр сумма проекций на осьОУ. Rz=∑(Pi)=P1cos(a)+P2 cos90+Pncos(b)- алгебр сумма проекций на осьОZ. R=√Ry2+Rz2 Любую систему сил произвольно располож в плоскости можно заменить 1-й силой R прилож-й в произвольном центре приведения О и 1-м моментом Мо. R-гл вектор = векторной сумме сил, вход-х в систему или его проекций.Мо- гл момент и = алгеб суммемоментов всех сил системы, взятых относительно центра приведения иалгеб сумме пар сил, действующих на тело. Мо=mo(P1)- mo(P2)+M1-M2 Условие равновесия плоской системы сход-ся сил: необходимо и дост-но, чтобы равнодействующая системыR=0 а)при граф-ом суммировании силовой многоугольник должен быть замкнут. б)при аналитическом RyиRzдолжны=0. Условие равновесия: R=0 (∑(Pi)z=0, ∑(Pi)y=0); Mo=0 (∑mo(Pi)+∑Mi=0) 4 Момент силы относительно точки. Пара сил. Момент пары сил. Сложение пар лежащих в одной плоскости. (в-3) Пара сил – это 2 силы = по вел-не, параллельные и против-но направ-ные, не леж-щие на1-ой прямой.(при этом равнод-щая R=0). М=Р*h,h-плечо М хар-ся вел-ой и направл вращения. Св-ва пар сил: Две пары сил статистически эквивал- ны(оказывают на плечо одинак действие), если их моменты = М1=М2 если P1*h1=P2*h2 -
Пару сил можно переносить в плоскости её действия в любое 1)Чистый изгиб Мизг≠0, Q=0,N=0,Mк=0 2)Поперечный Мизг≠0, Q≠0,N=0,Mк=0 По расположению силовой плос-ти: 1)Прямой или плоскийили простой – это когда силов плос-ть прох-т ч/з одну из главных центр-х осей попер-ого сечения балки. Центр-е оси прох-т ч/з центр тяж-ти, главные оси- оси симметр-ии или оси относ-но которых осевые моменты инерции Jx Jy имеют экстремальные знач-я Jx=∫y2dF (поF) Jy=∫x2dF (по F) 2)Косой изгиб- сложная деф-я. Деф-ции не лежат в силовой плоскости Внутр усилия опр-ся с помощью метода сечений. Внут ус-я должны уравновеш-ть внеш воздействия. Q=∑(Pi)y Ми=∑mo(Pi)+ ∑Mi Q-попереч сила в попер-м сечении балки численно= алгеб сумме проекций всех внеш сил действ-х на левую или правую часть балки. Q=f(q,P) M-не влияет на Q Правило знаков: Ми-изгиб-й момент в попер-м сечении балки численно= алгеб сумме моментов внеш сил взятых относит-но центра тяжести сечения и сумме сосредоточенных моментов действующих по 1-у стороны от сеч-я. Ми=f(q,P,M) Q и Ми-могут быть с разными знаками. Правило знаков: Постр-е эпюр Q и Ми: 1)Из условия равновесия балки опр реа-ии опор которые явл такие же как и внеш нагрузки (для консоли р-ии можно не опр-ть, часть с заделкой отбрасывают). 2)Балка разбив-ся на отдельные уч-ки в пределах которых з-н изменения Q и Ми одинаковый. (Границы берутся в точках прилож-я Р, М и в начале и конце q) 3)Сост-ся аналитич-ие выр-я для Q и Ми для каждого из уч-ков. 4)По получ-м выр-ям вычисл-ся ординаты эпюр на границах уч-ов 5)Если есть точки где Q=0 то опр-ся местный экстремум. При движ-ии слева направо: 1)На уч-ах балки где Q>0 Ми-возрас-т Где Q<0 Ми-убывает 2)Чем больше по абсол-й вел-не знач-е Q тем круче круче линия огранич-ая эпюру Ми. |Q|↑ то крут-на Ми↑ если Qi>Qj Mиi>Миj αi>αj 3)На уч-ах балки на которых Q=const эпюра Ми- прямая 4)В сеч-ях где Q=0 Ми- достигает экстремального знач-я. 27 Дифференциальные зависимости между внутренними силовыми факторами при изгибе, их использование для проверки правильности эпюр. QI=Ra+P-q*z МиI=Ra*z+P*(z-a)-q*z2/2+M QII=Ra+P-q*(z+dz) МиII=Ra*(z+dz)+P*(z+dz-a)- -q*(z+dz)2/2+M QII-QI=dQ dQ=q*dz q=dQ/dz Производная от поперечной силы по абсциссе сеч-я балки z(dQ)= интенсивности распред-ой нагрузки q. МиII-МиI=dМи= Ra*(z+dz)+P*(z+dz-a)- -q*(z+dz)2/2+M- Ra*z-P*(z-a)+q*z2/2- -M= Ra*dz+P*dz-q*z*dz-(q*d2z)/2 (q*d2z)/2→0 dМи= (Ra+P-q*z)*dz= =QI*dz Q=dМи/dz Производная от изгибающего момента Ми по абсциссе сечения балки = поперечной силе Q 28 Напряжения при чистом изгибе. Наиболее экономичные формы поперечных сечений балок. Ми≠0(чист из-б) у-расст-е от нейтрального слоя до другого. Справедлива гипотеза плоских сеч-й. Продольные линии при чистом из-бе искривл-ся по дугам окруж-ти при этом волокна лежащие на оси балки не меняют своей длины. a'b’-удлинились c’d’=cd e’f ‘-укоротились ρ-радиус изгиба О-центр тяж-ти. Совокупность волокон не меняющих своей длины при изгибе наз-ся нейтральным слоем. Нейтр слой-цилиндр поверхность с радиусом ρ. Линия перес-я нейтр слоя с плоскостью попереч сеч-я наз-ся нейтр-ой осью. Линия перес-я силовой плоскости с плос-ю попер-ого сеч-я наз-ся силовой линией и проходит ч/з центр тяж-ти попер-ого сеч-я. ε(относ удлин-е аb) =Δab/ab=bb’/cd ac=y ε=(y*dθ)/(ρ*dθ)=y/ρ ρ=const т.к. γ=0, то τ=0 т.к.ε≠0 σ≠0 ε=σ/Е σ =Е*ε=Е*у/ρ Предполагая что средние волокна не давят друг на др можно сказать что каждое волокно испытывает одноосное растяж/сжатие. Относит продольная деф-я ε и продольные напряж-я σпри чистом изгибе измен-ся по высоте попереч сечения балки прямо пропорционально расстоянию у от нейтр оси. Сила действ-ая на элемен-ую площадку σ*dF 1)∑(Pi)x=0 тожд- 2)∑(Pi)y=0 ва 3)∑mz(Pi)=0 0=0 | положение, а также можно переносить в плоскость || плоскости её действия.Результат действия на тело этой пары сил при этом не изменится. Сложение пар сил, леж в одной плоскости: равнодействующий момент = алгебр сумме моментов. М=∑Мi. Условие равновесия системы пар сил: необх и дост-но чтобы алгеб сумма всих моментов =0. МR=∑Мi=0 Момент силы относ точки= mo(Pi)=|P|*h Следствия: 1)момент силы относ любой точки, располож-ой на линии действия силы =0 mo(Pi)=|P|*h т.к. h=0 <= mo(Pi)=|P|*h=0 2)Алге сумма моментов сил образующ пару, относ-но произвольной точки, лежащей в плоскости пары, величина постоянная, равная моменту пары сил. P=P’ ∑mo(Pi)=|P|*ОА–Р’*OB=P*(OA-OB)= P*AB=P*h => mo=M 5 Теорема о параллельном переносе силы на плоскости. Приведение сил к данному центру.(в-3, 4) Силу Р можно || переместить в любую точку О, добавив при этом момент присо-единённой пары сил = моменту данной силы относительно точки приведения О. Мпр= Р*h. 6Условия равновесия произвольной плоской системы сил.(в-3) 7.Основные гипотезы, лежащие в основе курса сопротивления материалов. Внутренние силовые факторы, метод сечений.(в-1) 1Материал конструкции однородный и сплошной т.е. его св-ва не зависят от формы и размеров тела и одинак во всех его точках. 2.Мат-л конс-ии изотропен,т.е.его св-ва по всем направлениям одинаковы. (99% мат-ов) 3.Мат-л обладает св-вом идеальной упругости, т.е. способностью полностью восстанав-ть первонач-ю форму и размеры после снятия внеш нагрузок(это справедливо для напр-ий не превыш-их предел упругости). 4.З-н Гука: дефор-ция мат-ла конструк прямо пропорциональна напряжениям ε = σ / Е γ = τ / G E-модуль Юнга(модуль упр 1-го рода) G-модуль упругости 2-го рода. (З-н Гука справедлив до предела пропорциональности) 5.Деф-ции констр малы и не влияют на взаимное расположение нагрузок. 6.Принцип независимости действия сил (принцип наложения): результат воздействия на конструкцию системы нагрузок= сумме результатов возд от каждой нагрузки в отдельности δ = δР+ δМ+ δq (справедлив если выполняются 4и5 предпосылки). 7.Гипотеза плоских сечений (Бернулли): поперечные сеч-я бруса, плоские до приложения, остаются плоскими и после прилож-я нагрузки(справедлив для всех видов деф-ции). 8.Принцип Сен-Венана: если не интересоваться местными деф-ми (в малой части объёма тела), то нагрузку, прилож-ю к малой части объёма тела можно заменить статистически ей эквивалентной или равнодействующей если а<<L то: Метод сечений: в интересующем нас месте рассекаем брус; отбрасываем одну из частей бруса(лучше ту, где больше внеш сил); взаимодейс-е частей бруса друг на друга заменяем внутр усилиями, которые уравновешивают внешниесилы. Σ(Рi)z=0 Понятия о напряжениях, деформациях, перемещениях. Напр-ем наз-ся внутр сила, приходя-щаяся на ед-цу площади рассматриваемого сеч-я. Рсреднее=ΔR/ΔF Pистинное= lim ΔR/ΔF(приΔF→0) [H/м2=Па] σz – (нормальное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я перпендикулярная плоскости сеч-я. τ(zx или zy)- (касательное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я, лежащая в плоскости сечения. Плоская задача Р=√σ2+τ2 N=f(σ)→σmax<=[ σ] Q=f(τ)→τmax<=[ τ] условия Mк=f(τ)→ τmax<=[ τ] прочности Mи=f(σ)→ σmax<=[ σ] Деф-ции: 1.линейные а)абсолютные Δl=l1-l Δh=h1-h[м,см] З-н Гука в абсол вел-х: Δl=N*l/(E*F) –раст\сжатие φ = Мк*l /(G*Jp) – кручение k= 1/ρ= Mиз/(E*Jx) – изгиб ΔS= Q*a / (G*F) – сдвиг\срез В этих 4-х формулах знаменатель= жесткость сечения бруса. б) относительные ε=Δl/l ε=Δh/h ε=σ/E (E- модуль Юнга) 2.угловые деф-ции γ (угол сдви-га)=α+β, γ=τ/G(G-модуль упр 2 рода) Деф-я относится к отрезку части бруса – это изменение его первоначальной длины. Перемещение (δ) относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δi-I=Σ(Δli) условие жесткости: δmax<= [δ] Растяжение и сжатие. Определение напряжений и деформаций. Закон Гука. Модуль упругости. Центральным р\с наз-ся деф-ция при которой в поперечных сечениях бруса возникает только 1-но внут усилие- продольная сила N. Оно вызыв-ся силами действ-ми вдоль оси бруса. Напряж-е τ =0 γ= 0 σ ≠ 0 = const σi=Ni /Fi<=[σc],[σp]- условие проч-ти. Деф-ция: ε = σ / Е - з-н Гука Δl/l=N/(F*E) Δl=N*l/(F*E) Деф-я относится к отрезку части бруса – это изменение его первоначальной длины. Попереч деф-я: ε'= - μ*ε ε’-относ попер деф-я, μ- коэф Пуассона, ε – относ Продольная деф-я. μ хар-ет способность мат-ла к попер деф-м. Δ b=ε’ * b Перемещение (δ) относится к сечению 4)∑(Pi)z=0 ∫σdF (поF)=E/ρ∫ydF(поF)=0 ∫ydF- обознач-ся Sx и наз-ся статисти-ческий момент сечения относ-но оси х Sx=yц.т.*F т.к.Е/ρ≠0, то Sx=0 Ось х прох-т ч/з центр тяж-ти. 5)∑my(Pi)=0 x- плечо σ*dF- сила ∫x*σdF=E/ρ∫xydF ∫xydF= Jxy наз-ся центробежным моментом инерции сеч-я относ-но х и у. Если он=0 то оси х и у явл-ся главными осями сеч-я. 6)∑mx(Pi)=0 ∫yσdF=Ми Е/ρ∫у2dF=Ми ∫у2dF=Jx- наз-ся осевым моментом инерции сеч-я относ-но оси х Е/ρ*Jx=Ми 1/ρ=Ми/(Е*Jx) – кривизна нейтр-ого слоя. σ= Е*у/ρ=Е*у*Ми/(Е*Jx)= у*Ми/*Jx – справедливо и для чистого и для попер Наиб эконом формы попер сеч балок: 1)Надо выбирать балки у котор большая часть мат-ла удалена от центра тяж-ти. Выгодно: 2)Расположение балки делают таким чтобы Jx=max 3)Выбор формы сеч-я зависит от мат-ла. Для пластич мат-ла лучше использ-ть балки с симметр сеч-ми относит-но нейтр оси у которых σmax pас=σmax сж для хрупк ассиметр сеч-я при этом сеч-я располагают так чтобы σmax pас<=σmax сж т.к. [σсж]=(3-5)*[σрас] 29 Условие прочности при изгибе. Подбор размеров поперечных сечений балок. Усл проч-ти для симметр сеч-й относ-но оси х: σmax pас=σmax сж=Ми*0.5*h/Jx=Ми/Wx Wx=Jx/y –наз-ся осевым моментом сопр-я при изгибе. 1)пластич мат-л: σmax =Ми/Wx<=[σ] 2)хруп мат-л: σmax =Ми/Wx<=[σрас] Ассиметричные сеч-я: σmax рас =Ми*ymax рас/Jx<=[σрас] σmax сж =Ми*ymax сж/Jx<=[σсж] 30 Потенциальная энергия деформации при чистом изгибе. Авнеш=М1*θ1/2 dAвнут= - Ми*dθ/2 ρ – радиус крив-ны k –кривизна dz=ρ*dθ dθ=dz/ρ k=1/ρ=Ми/(Е*Jx) dθ= Ми*dz/(Е*Jx) dA= - Ми2*dz/(2*Е*Jx) U= -Aвнут= = -∫-Ми2*dz/(2*Е*Jx)=∫Ми2*dz/(2*Е*Jx) (от0 до L). – для попер изг-а Ми≠const. Для чистого изгиба: Ми=const U= Ми2*L/(2*Е*Jx) 31 Напряжение при поперечном изгибе: нормальные и касательные. Поперечный Мизг≠0, Q≠0,N=0,Mк=0 σ= Е*у/ρ=Е*у*Ми/(Е*Jx)= у*Ми/*Jx – справедливо и для чистого и для попер Касат напряж в произвольной точке попер сеч-я: τzy=τ=Qy*Sx/(Jxby) Qy-попер сила в рассматр сеч-и Sx-статистич момент относит-но нейтр-ой оси той части сеч-я, которая распол-на по одну сторону прямой, провед-ой ч/з данную точку Jx- момент инерции всего сеч-я относит-но нейтр оси by-ширина попер сечения на уровне рассматриваемой точки. 32 Дифференциальное уравнение упругой линии балки, его интегрирование. Перемещения: у- прогиб – это перемещ-е точек оси балки по нормали её недеформированной оси. max прогиб-это стрела прогиба. Условие жесткости: уmax<=[y] [y]=(0.01-0.001)*L θA-угол поворота попер сеч-я балки, буде считать его = углу наклона касательной к оси z т.е. углу поворота оси балки. y=f(z) θA=tg θA при α<< θA=dy/dz=y’ Условие жесткости: θmax<=[θ] [θ]=(0.5-1)*град. Изогнутая ось балки y=f(z) наз-ся упругой линией балки. Расчёт балки на жест-ть позволяет опр-ть размеры попереч сечения при которых перемещ-е не превышает установленные нормами пределы. Правило знаков: y>0-перемещ вверх θ>0- поворот сеч-я против часовой стрелки. Из матем-ки: k=1/ρ =y’’/(1+(y’)2)3/2 Из сопромата: k=1/ρ =Mи/(ЕJx ) Точное диф ур-е: y’’/(1+(y’)2)3/2= Mи/(ЕJx) y’=θ→min т.к.y’-мал,то (y’)2-пренебре- гаем. Получаем: y’’= Mи/(ЕJx) Mи= y’’ЕJx- основное диф ур-е упругой линии балки. y'’=d2y/dz2=dy’/dz аналитическое решение: Mи= y’’ЕJx ЕJx=const ЕJxd(y’)=Mиdz ЕJxy’= ∫Mиdz+C y’=θ=(∫Mиdz+C)/( ЕJx) ЕJx dy/dz= ∫Mиdz+C ЕJx dy= dz(∫Mиdz+C) ЕJx = ∫dz∫Mиdz+C*z+D C и D- произвольные const их опр-ют из условия операния балки. yA=0 θA=0 yA=0 yB=0 33 Метод начальных параметров вычисления перемещений при изгибе балок. Для данного напавления все знаки + 1) ЕJxθ= ЕJxθ0+∑M(z-a)+(∑P(z-b)2)/2+ +(∑q(z-c)3)/6+… 2) ЕJxy= ЕJxy0+ ЕJxθ0z+(∑M(z-a)2)/2+ +(∑P(z-b)3)/6+ +(∑q(z-c)4)/24+… 1)справедливы для балок с постоян жёсткостью ЕJx=const 2)Необходимо иметь только расчётную схему 3)Если q имеет разрыв непрерывности до сечения т.е. то берутся дополнит слогаемые в 1-е: -(∑q(z-d)3)/6, во 2-е: -(∑q(z-d)4)/24 ∑-алгеб сумма 4) y0 и θ0 опред-ся из условия операния балки. 34 Понятие о напряжённом состоянии в точке. Главные площадки и главные напряжения. Объёмная деформация. (В-12) Объёмное или 3-х осное напяж сост σ1≠0 σ2≠0 σ3≠0 Объем деф-я х-ся изменением объёма υ=(V1-V0)/V0 υ-относит изменение объёмаV1-объем после деф-ииV0-до деф-ии | бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δi-I=Σ(Δli) условие жесткости: δmax<= [δ] E- модуль Юнга- модуль упругости 1-го рода (модуль продольной упр-ти) Естали=2*105МПа. -
Потенциальная энергия деформации при растяжении, сжатии. Элементарная dАвнеш=P*dδ P=f(δ) Δl=δ=P*l/(E*F) P=E*F*δ/l dA=(E*F*δ/l)*dδ Aвнеш= Работа внеш сил выражается площадью диаграммы построенной в коор-х Р*δ и равна половине произведения окончательной силы Р и перемещения δ. dAвнут= - N*Δ(dz)/2 Δ(dz)=N*dz/(E*F) dAвнут= -N2*dz/(2*E*F) Aвнут= -N2*dz/(2*E*F) Aвнут= -N2*l/(2*E*F) Потен эн-я деф-ии наз-ся вел-на = работе внутр сил взятых с противопол знаком: U= - Aвнут=N2*l/(2*E*F), U= N2*dz/(2*E*F) Aвнут= -Авнеш, U=Aвнеш -
Эпюры продольных сил, напряжений и перемещения при растяжении, сжатии. Разбиваем брус на уч-ки границы кот-х нах-ся в точках прилож-я сосред-х сил 0<=z1<=a a<=z2<= a+b Для каждого из уч-ов опр-ем вел-ну продольной силы N (в пределах уч-ка N=const) N1=P1 N2= - P2+P1строим эпюру прод сил. Для каждого из уч-ов опр-ем напряж-е: σi=Ni/Fi Для кажд уч-ка опр-ем абсол деф-ю: Δli=Ni*l/(E*Fi) и опр-ем перемещ-я (Перемещение (δ) относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δi-i=Σ(Δli) Одноосное напряженное состояние. Определение напряжений в наклонных площадках. Закон парности касательных напряжений. Напряж-е сост-е в точке хар-ся совокупностью напряж-й возникающ-х на бесконеч-ом множестве произ-но ориентированных площадок произ-но проведённых ч/з эту точку. Напряже сост хар-тся 9 компонентами σx σy σz τxy τxz τyx τyz τzx τzy Главные площ-ки τ=0 х-ся 3 комп-ми: σ1 >σ2 >σ3(в алгебр смысле). Направлении┴ глав площ наз-ся глав- ми напр-ми Деф-ии┴ глав площ наз-ся глав-ми деф-ми Линейное или одноосное напр сост: σ3или1≠0, σ2=σ1или3=0 Fα=F/ cosα 1) ∑(Рi)площадка=0 σα*Fα –σ1*F*cosα=0 σα* F/ cosα –σ1*F*cosα=0 σα=σ1*cos2 α 2) ∑(Рi)площадка=0 τα*Fα –σ1*F*cosα=0 τα* F/ cosα –σ1*F*cosα=0 τα=σ1*cos α * sin α = 0.5* σ1* sin 2α τmax|α=45= σ1/2 τmin| α=0, α=90= 0 σα+π/2=σ1*cos2(α+π/2)= =σ1*sin2α т.о. σα + σα+π/2= σ1*cos2α + + σ1*sin2α = σ1 т.о. сумма на 2-х взаимоперпендикуля площ-ах = σ1 τα+π/2=0.5*σ1*sin2(α+π/2)=0.5*σ1sin(2α+ +π)= - 0.5*σ1sin(2α) τα+ τα+π/2=0.5*σ1sin(2α)- 0.5*σ1sin(2α)=0 З-н парности кас напряж: на 2-х взаимоперпендик площ-х действуют = по вел-не и обратные по знаку касательные напр-я (τ). τxy= - τyx τzy= - τyz τxz= - τzx Деформации продольные и поперечные. Коэффициент Пуассона. (в –9) Расчёты на прочность при растяжении/сжатии. Условия прочности. N=f(σ)→ σi=Ni/Fi<=[σ]–для пластично σic<=[ σс] σiр<=[ σр] –для хрупкого Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения пластичного материала механические характеристики. Испытания хрупких материалов на растяжение/сжатие, механические характеристики. Допускаемое напряжение, коэффициент запаса прочности. Т.к. детали и сооруж-я должны безопасно работать и при неблагоприят условиях, то напряж-я должны быть ниже тех предельных напряж-й при которых может произойти разрушения или возник-ть пластич дефор-ции. Т.о. [σ]= σu/n [σ]-допускаемое напяж-е σu- предельное напяж-е материала n – нормативный коэф запаса прочности (коэф безопасности). Коэф запаса проч-ти вводится для того чтобы обеспечить безопасную, надёж работу сооружений и отдельных его частей. Вопрос о “n” решается с учётом имеющегося опыта эксплуатц. Чистый сдвиг. Закон Гука. Модуль сдвига. Напряжения и деформации. Чистый сдвиг – напряж сост-е если на гранях эл-та действует только τ. Площ-ки на которых действует только τ наз-ся площ-ми чист сдвига. Q≠0 (Qx или Qy) Q=f(τ). Практические деф-ции сдвига/среза возник-ет когда брус нагружен 2-мя равными силами действующие на малом раст-ии друг от друга ┴ оси бруса и навстречу друг другу. Напр-я: Q=P τ = Q/F (т.к равномерно распред-ны по сечению) Деф-ия: γ – угловая деф-я γ= tgγ ΔS (абсолют деф-я)= γ*a γ =τ/G V0=1 l1=l2=l3=1 для ед длины:ε1=Δl1/l1= Δl1/1= Δl1 => V1= (1+ ε1)* (1+ ε2)* (1+ ε3)=1+ +ε1ε2+…+ ε1 ε2 ε3+…+ ε1+ ε2+ ε3 Т.к деф-ии малы то произвед-ями ε1ε2+…+ ε1 ε2 ε3ε2+…можно пренебречь.=> V1= 1+ ε1+ ε2+ ε3 υ=(V1-V0)/V0=(1+ ε1+ ε2+ ε3-1)/1= ε1+ +ε2+ ε3 ε1= ε11 +ε12 +ε13=1/Е*(σ1-μ*(σ2+σ3)) ε2= ε21 +ε22 +ε23=1/Е*(σ2-μ*(σ1+σ3)) ε3= ε31 +ε32 +ε33=1/Е*(σ3-μ*(σ1+σ2))- обобщенный з-н Гука для объем н.с. υ=(1-2μ)*(σ1+σ2+σ3)/E 35 Обобщённый закон Гука. Обобщ з-н Гука – это зависимость м/д деф-ми и напяж-ми при плоском и объёмном напр сост. Предпосылки для вывода: 1)используем з-н Гука для одноосного н.с.: ε=σ/Е 2)связь м/д продольными и попереч деф-ми: ε’= -μ*ε 3)принцып наложения (независимости действия сил) 1)Для плоского н.с.: ε12 1-направление деф-ии 2-причина деф ε11= σ1 /Е ε22= σ2 /Е ε21= -μ*ε11= -μ* σ1 /Е ε12= -μ*ε22= = -μ* σ2 /Е =>ε1= ε11 +ε12= σ1 /Е - μ* σ2 /Е=1/E *(σ1-μσ2) ε2= ε22 +ε21= σ2 /Е - μ* σ1 /Е=1/E *(σ2-μσ1) 2)Для объёмного н.с.: ε1= ε11 +ε12 +ε13=1/Е*(σ1-μ*(σ2+σ3)) ε2= ε21 +ε22 +ε23=1/Е*(σ2-μ*(σ1+σ3)) ε3= ε31 +ε32 +ε33=1/Е*(σ3-μ*(σ1+σ2)) (и В-34) 36 Удельная потенциальная энергия деформации, её представление в виде энергий изменения формы и объёма. ε1= ε11 +ε12 +ε13=1/Е*(σ1-μ*(σ2+σ3)); ε2= ε21 +ε22 +ε23=1/Е*(σ2-μ*(σ1+σ3)); ε3= ε31 +ε32 +ε33=1/Е*(σ3-μ*(σ1+σ2)) удельная потенц энергия ер=U/V0 Полная энергия U=∫ерdV(по V) V0=1 ер=U/1=U= - Aвнут= - (Aвнут 1+ + Aвнут 2+ Aвнут 3) Aвнут 1= - (σ1* ε1)/2 Aвнут 2= - (σ2* ε2)/2 Aвнут 3= - (σ3* ε3)/2 ер=(σ1* ε1)/2+(σ2* ε2)/2+(σ3* ε3)/2 подставив ε1 ε2 ε3 получим: ер= ер= ерформоизменения+ еробъёмоизменения ерф зависит от угловых деф-ий еро зависит от линейных деф-й сторон ерф=(1+μ)(σ12+σ22+σ32-σ1σ2-σ1σ3- -σ2σ3)/3Е еро=(1-2μ)*(σ1+σ2+σ3)2/6Е 37 Виды напряженных состояний в точке. Плоское напряженное состояние, определение главных напряжений. (В-12) 1)Прямая задача для плоского н.с.: σα=σ1*сosα+σ2*sinα τα=((σ1-σ2)/2)*sinα τmax|α=45=(σ1-σ2)/2 2)Обратная задача для плоск н.с. по σα σβ τ найти σ1 σ2 а) tg2ψ0=2τ/(σβ-σα)- положение глав площ-ки σ1(max)/3(min)= (σα-σβ)/2±(√((σα-σβ)2+4τ2))/2 вел-на глав напр-й (+для σ1(max) -для σ3(min)) б)для кручения с изгибом tg2ψ0=2τ/σ σ1/3=σ/2±(√(σ2+4τ2))/2 (+для σ1(max) -для σ3(min)) 38Понятия об эквивалентном напряжении и гипотезах прочности. 1)линейное н.с.(раст\сж, изгиб) 2)простое плоское н.с.(кручение, срез) 3)сложное н.с. Гипотезы проч стремятся установить критерии проч-ти для мат-ла находящ-ся в сложном н.с. При этом слож н.с. сводится к одноосному линейному н.с. которое обознач-ся σэкв и явл-ся равноопасным заданным плос или объёмным сост-м. σэкв выр-ся ч/з напряж-я σ1 σ2 σ3 т.о. σэкв=f(σ1 σ2 σ3) и устанавливается гипотезами прочн-и σэкв<=[σ]- условие проч при слож н.с. I)гипотеза наиб-х нормальных напряж σ1/3<=[σ] (практикой не подтверждено) II)гипотеза наиболь линейных деф-й ε1/3<=[ε]=σ/E(практикой не подтвержд) III) Гипотеза max касательн напряж-й τmax(для слож н.с.)<=[τ](для линей н.с.) τmax =(σ1-σ3)/2 [τ]=[σ]/2 (σ1-σ3)/2<=[σ]/2 σ1-σ3<=[σ] => σэкв III= σ1-σ3 т.к. не уч-ет σ2 то погрешность сост≈ 15% прошла пров-ку временем но исполь только для пластических мат-ов IV)Гипотез энергии формоизменения: Прочность мат-ла при сложном н.с. обеспеч-ся если удельная потенц энергия формоизменения (ерф) не превосходит допустимой ерф установленной для одноосного н.с. ерф(для слож н.с.)<=[ерф](для линей н.с. σэквIV= = = <=<= [σ] –самая применимая более всего оправдавшая себя на практике применима для пластич мат-лов Мора) σэкв М= σ1 - ν σ3<=[σр] или [σсж]; ν=[σр] / [σсж] подтверж практикой применимо для хрупких мат-ов Для плоского н.с.(круч с изгибом): σ1= σ3= σэкв III= σ1- σ3= = = <<=[σ] σэквIV= = == σэкв М= σ1 - ν σ3=1/2* = = = σэкв=Мприв/Wx<=[σ] Wx=0.1d3; Wp=Jp/r=2*Jx/r Wx= Jx/r= Wp/2 Jp= | ΔS= τ*a/G=Q*a/(G*F) – з-н Гука в абс вел-нах, где G- модуль сдвига (модуль упругости II рода) хар-ет способность мат-ла сопротив-ся деф-ям сдвига. Авнеш= -Авнут U= -Aвнут= P*ΔS/2= =Q* ΔS/2= Q2*a/(2*G*F) Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Касательные напряжения при кручении. Δ l=0 σ =0 γ (угол сдвига)≠0 τ (кас напр)= G*γ Кручением наз-ся вид деф-ии при кот-м в поперечном сеч-ии возникает только 1-о внутр усилие – крутящий момент (Мкр) Внеш скруч мом-ы: Мскр Мкi= ΣMскр i Крутящий момент = алгеб сумме внеш-х скруч моментов действующих по1-ну сторону от сечения. Касатель напр-я: τ = G*γ Мкр = f (τ) Справедлива гипотеза Бернулли (о плоских и жест сеч-ях) Ось вала осталась прямолинейная. Геометр размеры без изм-я. γ-угол сдвига образующей φ-угол закручивания или угол поворота попереч сечения. r- радиус γmax=tg γmax=NN’/dz=r dφ/dz γρ= tg γρ=kk’/dz= ρ dφ/dz τρ =G*dφ/dz* ρ dφ/dz=const G=const G* dφ/dz=const S=0 → τ=0 S= r → τmax При круч-ии деф-ии сдвига γ и кас напр τ пропорц-ны расстоянию от оси вала ρ. dMк= τρ*dF *ρ Mк=∫dMк(по F) = =∫ ρ *τρ*dF = ∫ ρ2*G (dφ/dz)dF=G* dφ/dz ∫ ρ2dF ∫ ρ2dF=Jp- полярный момент инерции поперечного сечения. dφ/dz=Мк/(G*Jp) τρ= G* ρ* Мк/(G*Jp)= Мк* S/Jp Jp(для круга)=0.1*d4 Jp(пусто-ого вала)=0.1*D4*(1-c4) c=d/D τmax=Мк*r /Jp= Mк/Wp<=[τ] –усл проч-и Wp=Jp/r Wp – полярный момент сопротивления = отнош-ю поляр моменту инер-ии к расст до наиболее удалённых волокон вала (r) Wp (круг)= 0.2*d3 Wp(пустотел вал)= 0.2*D3*(1-c3) c=d/D dφ =Мк* dz /(G*Jp) проинтегрируем обе части (правую от0доφ, лев от0доL) Мк/(G*Jp)=const φ= Мк*l/(G*Jp) – з-н Гука Перемещ сеченя: δφ=∑φi Условие жесткости: δφmax<=[φ] Относит угол закр-я: θ=φ/l= Мк/(G*Jp) Услов жесткости: θ <= [θ] Полярный момент инерции, полярный момент сопротивления круглого сечения. Угол закручивания при кручении. (в-19) Потенциальная энергия деформации при кручении. Условия прочности и жесткости при кручении круглого бруса. Aвнеш=Мскр1*φ1/2 dАвнут= - Мк*φ/2 U= -Авнут=∫ Мк2* dz /(2*G*Jp(от0 доL) U=Мк2* l/(2*G*Jp) Перемещ сеченя: δφ=∑φi Условие жесткости: δφmax<=[φ] Относит угол закр-я: θ=φ/l= Мк/(G*Jp) Услов жесткости: θ <= [θ] τmax=Мк*r /Jp= Mк/Wp<=[τ] –усл проч-и Испытание материалов на кручение. Диаграмма кручения пластичного материала, механические характеристики при кручении. Расчёт на прочность заклёпочного и болтового соединений. d-диаметр отверстия dзак-диам заклёпк d≈dзак+(0.5-1)мм 1)Р-равномер распред-но м/д заклёп (болтами) Q1-й зак=P/n n-число заклёпок 2)По плоскости среза τ распед равном τ=Q/F условие проч-ти: τ=Q/F=4P/(nπd2)<=[τcp] [τcp]≈0.8[σ] n>=4P/(πd2[τcp]) n-числ зек из расчёта на прочность. Расчёт на смятие: Fсмят=d*δmin δmin-min толщина места. σсмят=Q/Fсмят=P/(n’dδmin)<=[σcм]<=2*[σ] n’-число зак из расчёта на смятие n’>=P/([σcм]*d* δmin) из n и n’выбир > Расчёт на прочность сварных швов. Для соед-я встык – расчёт на обычное растяж\сжат: σ=P/Fшва<=[σ] Соед-е внахлёст: Шов хар-ся катетом: АВ=ВС=δ=катет На биссектрису дейст-ет τмах. Ширина опасного сечения = 0.7*катет Площади опасного сечения швов: Fлоб =b∑*0.7*кат-т Fфронт =l∑*0.7*кат-т Допустимая нагрузка: (l∑+b∑)*0.7*кат-т*[τ]>=P Расчёт цилиндрических винтовых пружин малого шага. α<=10-12град D-сред диамет пружины d-диам проволок h-шаг с=D/d-индекс пруж с=4-12 n-число раб витков nпол=n+1.5-2.5 λ-удлинение/осадка в сечении 2 внутренних усилия: Q-поперечная сила, Мк-крутящ момен Q=P Mк=P*D/2 Mк: τmax=Мк/Wp=P*D/2*Wp Wp=π*d3/16 τmax =8PD/πd3 Q: τ=Q/F=4P/ πd2 Условия проч в опасной точке: τmax= τmax(Мк)+ τmax(Q)= 8PD/πd3+4P/ πd2= =(8PD+4Pd)/ πd3= =8PD/πd3*(1+d/2D)<=[τ] Если d/2D<=1/6, то τmax=8PD/πd3<=[τ] d>= λ=8PD3n/Gd4 хар-ка пруж-ы график P=f(λ) k-жёсткост k=P/ λ [H/мм] Изгиб чистый, поперечный. Внутренние силовые факторы при изгибе, построение их эпюр. Изгибом наз-ся деф-я сопровождающ изменением кривизны оси стержня. Стержни раб-щие в основном на изгиб наз-ся балками Виды изгиба по внутр-м усилиям: dпроч= 39 Гипотеза max касательных напряжений (III гипотеза прочности)(В-38) 40Гипотеза энергии формоизменения (IV гипотеза прочности)(в-38) 41 Критерий Мора.(в-38) 42 Расчёт на прочность круглого бруса при одновременном действии изгиба и кручения. (в-38) 1)строим эпюры Мк1=0 Мк2=М Ми1,2=Р*z1,2|0=0|L=P*l 2)опасные сечения: Мк2=М Ми2=P*l 3)исследу-ые напр-я: τmax(Ми)=Мк/Wp σmax(Mи)=Ми/Wx τmax(Q)=Q*Sx/(b*Jx) 4)опасная точ на поверхности вала: σ=Ми/Wx τmax=Мк/Wp= Мк/2Wх |