Shpori (Долгожданная шпаргалка для экзамена по матанализу факультета ВМС), страница 3

умножим обе части на : .

В силу ортогональности системы все скобки равны 0, за исключением последней

.

Итак, функция , заданная на отрезке , представима на этом

отрезке следующим рядом Фурье: , где . Если функция задана на , то

ее ряд Фурье будет таким же, только будут .

Ряды Фурье для функций, обладающих четностью и нечетностью.

Опр. четная, т.е. . В этом случае

и ряд Фурье для четной функции будет

содержать только косинусы: .

Опр. нечетная, т.е. . В этом случае

и ряд Фурье для нечетной функции будет содержать

только синусы: .

Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде.

Пуcть f(x) задана на интервале . Продолжим ее на , а затем продолжим на всю числовую ось с периодом . Полученную функцию можно представить в виде ряда Фурье по системе функций

Если выбрать способ продолжения на так, чтобы получилась нечетная функция:

то ряд Фурье будет содержать только синусы, т.к.

Если выбрать способ продолжения на так, чтобы получилась четная функция:

то ряд Фурье будет содержать только косинусы, т.к.

Отметим, что предложенными двумя способами продолжения не исчерпываются, но они наиболее востребованы, т.к. дают ряды удобного вида.

Применение метода Фурье к решению некоторых задач математической физики.

1. Уравнение в частных производных.

Дифференциальным уравнением в частных производных называется уравнение

относительно функции нескольких переменных и её частных производных различных порядков: .

2. Уравнения математической физики.

Уравнениями математической физики называются линейные дифференциалые уравнения 2-го порядка в частных производных. Например:

.

С помощью замены переменных такие уравнения преобразуются в уравнения одного из следующих трех типов:

(1)

(2)

(3) .

Введем обозначение: - оператор Лапласа. Тогда уравнения

(1),(2),(3) можно записать в виде:

(1)

(2)

(3) .

Уравнения типа (1) называются уравнениями гиперболического типа, или

волновыми уравнениями. Такое уравнение описывает колебания струны, мембраны, течение жидкости, волны и т.д.

Уравнения типа (2) называются уравнениями параболического типа. Они описывают распространение тепла в средах и называются уравнениями теплопроводности.

Уравнения типа (3) описывают стационарные процессы (не зависящие от времени). Они называются уравнениями эллиптического типа, или уравнениями Лапласа.

Если функция , стоящая в правой части уравнения такая, что . Например, уравнение (1) при описывает собственные колебания (или свободные колебания), а при -

вынужденные колебания системы.

3. Задача о свободных колебаниях ограниченной струны, закрепленной на концах.

Пусть функция описывает малые поперечные колебания струны, .

Уравнение колебаний: (1), - время, - координата точки на струне , зависящая от параметров струны.

Пусть (2)

Условия (2) - начальные условия (задача Коши).

Пусть струна закреплена на обоих концах: , условия (3) - граничные условия.

Метод Фурье: будем искать в виде .

Тогда .

Из (1) сдедует: .

То есть уравнение эквивалентно системе

.

Рассмотрим первое из этих уравнений. Из условий закрепления (3) следует:

. Задача называется задачей Штурма-Лиувилля.

а) если

.

б) если - различные действительные корни .

(аналогично случаю а), т.е. такие тоже исключаем).

в) условие разрешимости задачи: . Тогда характеристическое уравнение (ХУ) имеет чисто мнимые корни

. - собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.

Функции составляют Ф.С.Р. и называются собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля

.

Рассмотрим теперь другое уравнение: .

Итак, мы имеем и . Тогда частное решение , а общее решение = линейной комбинации частных: . Найдем коэффициенты из начальных условий (2): - коэффициент ряда Фурье функции , заданной на полупериоде , продолженной нечетным образом (т.к. ряд только по косинусам);

, - коэффициент Фурье функции , заданной на полупериоде , продолженной нечетным образом, а

. Тогда , где .

Пример. Задача т.р. № 6.

.

, , , , .

, .

Ответ: .

4. Задача о распространении температуры в стержне с теплоизолированной боковой поверхностью.

Уравнение теплопроводности: - однородное уравнение параболического типа. Начальные условия: - начальная температура.

Различные типы граничных условий:

- на концах поддерживается нулевая температура.

- оба конца теплоизолированы.

- смешанного типа.

5. Метод Фурье для решения уравнений эллиптического типа.

Функции, удовлетворяющие уравнению называются гармонические.

Задача. Найти функции, гармонические внутри прямоугольника , если на его границах выполняются условия:

.

Будем искать

.

.

или (что то же самое, т.к. ) .

. . Найдем :

,

.