Матан типовой расчет (задание)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

III СЕМЕСТР

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВЕЧЕРНЕГО И ЗАОЧНОГО

ОТДЕЛЕНИЙ

МОСКВА 2005

Составители: А.Б.Зайцев, Е.С.Мироненко, А.И.Сазонов, Д.А.Хрычев, А.Л.Шелепин

Редактор Ю.И.Худак

Контрольные задания являются типовыми расчетами по разде­лам математического анализа (кратные интегралы и векторный анализ), изучаемым студентами вечернего и заочного отделений МИРЭА в третьем семестре. Типовые расчеты выполняются сту­дентами в письменном виде и сдаются преподавателю до начала зачетной сессии. Приведенные в пособии вопросы к экзамену по математическому анализу могут быть уточнены и дополнены лек­тором. При составлении типовых расчетов были использованы ме­тодические разработки коллектива кафедры высшей математики МИРЭА.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета уни­верситета.

Рецензенты: Б.Н. Фролов, О.В. Бабурова

МИРЭА, 2005

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ: "КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ"

ЗАДАЧА 1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции f{x,y) в замкнутой области D. заданной системой неравенств.

ЗАДАЧА 2. В повторном интеграле изменить по-

рядок интегрирования.

ЗАДАЧА 3. Найти момент инерции плоской однородной пластинки D относительно оси ОХ (варианты 1 — 15) или оси OY (варианты 16 — 30). При вычислении двойного интеграла перейти к полярным координатам.

ЗАДАЧА 4. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела G, заданного неравенствами.

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ: "ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ"

ЗАДАЧА 1. Найти дивергенцию и ротор векторного поля о, задаваемого векторным произведением . Вектор и скалярное поле и указаны в таблице.

ЗАДАЧА 2. Вычислить криволинейный интеграл

по замкнутому контуру L, пробегаемому против часовой стрелки, двумя способами: непосредственно и по формуле Грина.

ЗАДАЧА 3. Найти поток векторного поля через замкнутую по­верхность, ограничивающую указанное тело G, в направлении внеш­ней нормали к поверхности. Задачу решить двумя способами: непо­средственно, вычислив поток через все гладкие куски поверхности, и с помощью теоремы Гаусса-Остроградского.

ЗАДАЧА 4. Найти циркуляцию векторного поля по замкнуто­му контуру, ограничивающему указанную поверхность . Задачу решить двумя способами: вычислив непосредственно линейный ин­теграл векторного поля и применив формулу Стокса. Направление обхода контура, выбрать произвольно.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1. Функция нескольких переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

2. Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных. Полное приращение и полный дифференциал функции нескольких переменных.

3. Определение дифференцируемой функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия дифференцируемое™.

4. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.

5. Неявная функция нескольких переменных и ее частные производные.

6. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования.

1. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в ограниченной замкнутой области.

3. Определение двойного интеграла, его геометрический смысл. Теорема существования двойного интеграла.

1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах сведением к повторному интегралу.

2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

3. Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла.

4. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сведением к повторному интегралу.

5. Цилиндрические координаты. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.

1. Сферические координаты. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.

2. Свойства кратных интегралов: линейность, аддитивность, интегрирование неравенств.

3. Свойства кратных интегралов: теорема об оценке и теорема о среднем.

4. Физические приложения кратных интегралов: вычисление масс, моментов, координат центра масс.

5. Скалярные и векторные поля. Поверхности уровня и векторные линии.

6. Градиент скалярного поля и его свойства.

7. Производная скалярного поля по направлению, ее связь с градиентом.

8. Градиент скалярного ноля. Теорема об ортогональности градиента к поверхности уровня.

9. Дивергенция векторного поля, ее свойства.

10. Ротор векторного поля, его свойства.

1. Оператор Гамильтона, запись градиента, дивергенции и ротора с его помощью. Вывод формул rot grad u = и div rot = 0.

2. Определение криволинейного интеграла по длине дуги. Теорема существования криволинейного интеграла по длине дуги.

3. Свойства криволинейного интеграла по длине дуги. Его вычисление с помощью интегрирования по параметру.

4. Определение поверхностного интеграла 1-го рода. Теорема существования поверхностного интеграла 1-го рода.

5. Свойства поверхностного интеграла 1-го рода. Его вычисление методом проектирования на одну из координатных плоскостей.

6. Определение потока векторного поля через ориентированную поверхность. Вычисление потока методом проектирования на одну из координатных плоскостей.

7. Поток векторного поля через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса-Остроградского в векторной и координатной формах.

8. Определение линейного интеграла векторного поля и его вычисление с помощью интегрирования по параметру.

9. Линейный интеграл плоского векторного поля. Теорема Грина.

10. Условия независимости линейного интеграла плоского векторного ноля от формы пути.

11. Теорема Стокса в векторной и координатной формах.

12. Определение и свойства потенциального поля.

13. Определение и свойства соленоидального поля.