Лекция №4 (Лекции по матану 3-ий семестр)
Описание файла
Файл "Лекция №4" внутри архива находится в папке "Лекции по матану 3-ий семестр". Документ из архива "Лекции по матану 3-ий семестр", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Лекция №4"
Текст из документа "Лекция №4"
Лекция №4
Тема №5
Абсолютно и условно (не абсолютно) сходящиеся ряды. Их свойства.
Определение №8: - абсолютная сходимость
Чтобы (1) абсолютно сходился, необходимо достаточно, чтобы сходился (2)
Определение №9: - условная сходимость
Чтобы (1) сходился условно, необходимо и достаточно, чтобы:
Теорема №11: - Достаточное условие сходимости числовых рядов, или о взаимосвязи сходимости и абсолютной сходимости.
Если сходится абсолютно, то он и просто сходится.
Доказательство:
Т.к. (1) абсолютно сходится, то сходится , следовательно существует , следовательно возрастает, следовательно (3)
- частичные суммы, входящие в с “+”
- частичные суммы, входящие в с “-” (сумма их абсолютных значений)
Используя неравенство (3) и равенство(5) можно сделать вывод:
Из (6) и (7) следует, что и ограничены
возрастает, возрастает (по их сути), следовательно существует и существует
По равенству 4 вытекает существование - теорема доказана.
Примеры:
№1
расходится, следовательно, для исходного ряда абсолютной сходимости нет, следовательно, ряд сходится условно или не абсолютно.
№2
- геометрическая прогрессия, q = 1/2 < 1, следовательно сходится, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
-
На абсолютно сходящиеся ряды распространяются все признаки сходящихся положительных рядов, например, Коши радикальный:
Е сли существует , то ряд = сходится, при q < 1
расходится, при q > 1
Примеры:
№1
-
Необходимый признак выполняется, т.к.
-
Проверка абсолютной сходимости
№2
3) - не выполняется необходимый признак
№3
Замечание:
Из примеров виден алгоритм исследования произвольных числовых рядов на сходимость
Алгоритм:
-
Проверка необходимого признака (не выполняется – расходится, выполняется – к п. 2)
-
Проверка на абсолютную сходимость (если сходится абсолютно, то сходится и условно, если абсолютно не сходится, то к п.3)
-
Проверка условной сходимости (признак Лейбница и другие)
2) Сочетательное свойство
Теорема №12 – О сочетательном свойстве
Если абсолютно сходится, то для такого ряда сохраняется сочетательное свойство конечных сумм
Замечание 2:
На самом деле сочетательное свойство конечных сумм справедливо не только для абсолютно сходящихся рядов, но и для всех рядов.
3) Переместительное свойство
Теорема №13 – О переместительном свойстве абсолютно сходящихся рядов
Для абсолютно сходящихся рядов выполняется переместительное свойство конечных сумм, т.е.
Замечание 3:
Это свойство справедливо только для абсолютно сходящихся рядов ( и для положительных рядов), а для условно сходящихся рядов, как будет показано позднее, это свойство не имеет места.
4) Перемножение абсолютно сходящихся радов
Теорема №14 – О произведении абсолютно сходящихся рядов
Пусть (8) сходится абсолютно, (9) сходится абсолютно, тогда так же сходится абсолютно и его сумма равна произведению сумм перемножаемых рядов
Замечание №4:
может быть составлен как угодно, лишь бы вошли все попарные произведения членов перемножаемых рядов.
Например:
Замечание 5:
Если ряды (8) и (9) сходятся не абсолютно, то в результате перемножения можно получить даже расходящийся ряд.
Например:
не стремится к 0, не выполняется необходимый признак, следовательно, ряд расходится.
Замечание 6:
Для условно сходящихся рядов переместительное свойство не имеет места.