Лекция №2 (Лекции по матану 3-ий семестр)

Лекция №2

Тема №2 – Свойства сходящихся рядов

1. Необходимый признак сходимости числовых рядов

2. О стремлении к 0 остатка сходящегося числового ряда

3. Приближенное вычисление суммы сходящегося ряда

4. Линейные операции со сходящимися рядами

5. Сходимость ряда не нарушится, если к нему прибавить конечное число членов

с ошибкой

Сходимость этого ряда докажем позже

геометрическая прогрессия

IV. Линейные операции

Пусть сходится

Тогда:

1. Алгебраическая сумма рядов тоже будет сходящимся рядом, причем его сумма будет равна сумме сумм.

Доказательство:

Из сходимости рядов следует существование и

Пусть - частичная сумма ряда представленная:

1. Умножение сходящегося ряда на некоторое число k не изменяет его сходимости, а только меняет сумму ряда.

, то

1. Сходимость не нарушится, если к ряду добавить конечное число членов, но изменится его сумма

Замечание к теме №2

Умножение расходящегося ряда на число k не изменит его расходимости.

Добавление или вычитание членов расходящегося ряда не нарушит его расходимости.

Тема №3 – Достаточные признаки сходимости. Положительные ряды.

Определение №5 – Положительного числового ряда

где (1)

Теорема №3 – Критерий сходимости положительных числовых рядов

Для того, чтобы ряд (1) сходился необходимо и достаточно, чтобы была ограничена сверху.

Доказательство:

1. Последовательность ряда (1) всегда возрастающая

Необходимость

Из сходимости ряда (1) следует существование конечного

Достаточность

ограничена сверху, но монотонно возрастает, следовательно, по теореме о связи последовательности с ее пределом существует .

Достаточные признаки сравнения положительных числовых рядов.

Признаки сравнения:

Теорема №4: - первый признак сравнения (допредельный)

Пусть имеется два числовых ряда

(1) и (2) с положительными членами, для которых выполняется условие

(3), не ограничивая общности, можно считать, что , в силу свойства сходящихся и расходящихся рядов при добавлении конечного числа членов.

Тогда:

1. Из сходимости большего ряда (2) следует сходимость меньшего ряда (1)

2. Из расходимости меньшего ряда (1) следует расходимость большего ряда (2)

Пример:

№1

- расходится, т.к. , а - расходится.

№2

- сходится, т.к. , а сходится.

Доказательство:

1) Дано:

- сходится

и ограничена ряд (1) сходится.

2) Дано:

- расходится, т.е.

, т.е. ряд из расходится.

Теорема №5 – Второй признак сравнения (предельный)

Пусть даны два положительных ряда, тогда если существует конечный (4), то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Пример:

№1

, расходится, т.к. , т.е. ~

№2

;

Доказательство теоремы №5:

Из (4) следует по определению предела числовой последовательности

выполняется (5)

тогда (5’) (6) и (7)

Пусть сходится, тогда - сходится (по свойству умножения ряда на число) из (7) следует по теореме №4 сходимость

Пусть расходится, следовательно расходится, следовательно по теореме №4 расходится

Признак Даламбера, Коши радикальный, Коши интегральный.

Теорема №6: - Признак Даламбера

П усть (1); , тогда если существует , то ряд (1)

= сходится, если q < 1

расходится, если q > 1

ничего нельзя сказать при q = 1

Теорема №7: - Коши радикальный

Пусть дан ряд (1), тогда если существует , то ряд (1)

= сходится, если q < 1

расходится, если q > 1

ничего нельзя сказать при q = 1

Теорема №8: - Коши интегральный

Пусть:

1) ; ; ; n = 1, 2, …

2) является непрерывной функцией, на

Тогда ряд (1) и сходятся или расходятся одновременно.