Лекция №1 (Лекции по матану 3-ий семестр)
Описание файла
Файл "Лекция №1" внутри архива находится в папке "Лекции по матану 3-ий семестр". Документ из архива "Лекции по матану 3-ий семестр", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Лекция №1"
Текст из документа "Лекция №1"
Лекция №1
-
Числовые ряды
-
Функциональные ряды
-
Степенные ряды (частный случай функциональных рядов)
-
Ряды Тейлора (частный случай степенных рядов)
-
Приложения степенных рядов
-
Ряды Фурье (частный случай функциональных рядов)
-
Тригонометрические ряды Фурье
-
Интеграл Фурье
-
Уравнения математической физики
Тема №1
Числовые ряды
- числовая последовательность действительных (комплексных) чисел
Выражение вида
называется числовым рядом (бесконечным числовым рядом)
Замечание 1
Бесконечная сумма бесконечно малых функций не всегда будет бесконечно малой (она может оказаться даже бесконечно большой)
Примеры рядов:
1) - геометрическая прогрессия
2) - частный случай геометрической прогрессии,
q=1/2
Определение:
Частичная сумма ряда – сумма n первых членов ряда
Определение:
- сходящийся числовой ряд, если:
Ряд расходится, если предел равен бесконечности или не существует
при q = 1; a + a + a + a …
при q = -1; a – a + a – a + …
0, n = 2k
Геометрическая прогрессия сходится при и расходится при
Из примеров (см. выше)
Доказательство:
Из этого неравенства получается следующие оценки:
5) сводится к исследованию двух действительных рядов. Комплексный ряд сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба действительных ряда и расходится, когда расходится хотя бы один.
Тема №2
Свойства сходящихся числовых рядов
Теорема №1 – Необходимый признак сходимости числовых рядов
Доказательство:
Из сходимости ряда следует:
Обратное неверно, как показывает пример гармонического ряда
но ряд расходится.
Замечание №2
Доказательство:
Предположим, что ряд сходится, но тогда по теореме №1 , а он ряд расходится.
Определение №4 – Остатка ряда
выражение такого вида называется остатком ряда.
Утверждение:
1-ое доказывается от противного, а 2-ое следует из того, что