Лекции №5 - №8 (Лекции по матану 3-ий семестр)
Описание файла
Файл "Лекции №5 - №8" внутри архива находится в папке "Лекции по матану 3-ий семестр". Документ из архива "Лекции по матану 3-ий семестр", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Лекции №5 - №8"
Текст из документа "Лекции №5 - №8"
Тема №6
Функциональные ряды
Опр.10 (функц. ряда )
∑U(x) (1), где U(x) имеет общую область определения X.
Пример: ∑(х)ⁿ = 1+х+х2 +. . . + хn+ …=∑(x)n-1 , Х=(-∞,∞)
Пусть х=1/2
∑(1/2)n-1 --геометрическая прогрессия q=1/2<1 , сходится
Пусть х=2:
∑2n-1 – геометрическая прогрессия с q=2>1 –расходится.
В каждой конкретной точке х0 функциональный превращается в числовой.
Опр.11 (точек сходимости и области сходимости функционального ряда)
Х=Х0 , где ряд сходится(∑U(х0)—сходится)(точка сходимости ф.р (∑U(х) ).
Совокупность т. Сходимости называется область сходимости(Е).
Чтобы Ряд ∑U(х)—сходился в Е Sn(x)n→∞S(x) , т.е. для любого ε→0 существует N(ε, х) > 0 такое что для любого n> N(ε, х) и данного х (пренадл Е) выполняется |S(x)- Sn(x)|<ε (2)
Т.е |rn(x)|<ε (3)
Замечание : не всегда бесконечная сумма непрерывных функций будет функцией непрерывной.
Опр. 13( мажоранты)
Т.16(достаточное условие Веерштрасса, равномерной и абсолютной сходимости)
Док-во
1)абсолютная сходимость очевидна из 3) условия + допредельный признак сравнения из сходимости большего следует сходимость меньшего.
2)
|rn(x)|=|Un+1 (x)+Un+2(x)+....+ |
| Un+1 (x)|+| Un+2(x)|+...
По 3) условию М аn+1 +an+2 = rn 
--мажоранты
Тема№7 свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывные суммы интегрирование и дифференцирование рядов.
Т.17(о непрерывности суммы)
Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть функция непрерывная.
Дано 1)
2)Un(x)-непрерывна на D
Доказать , что S(х) непрерывна на D , т.е. 
х0 ,х
Док-во
1)Un(x)-непрерывн. На D 
2)
Замечание 1
Если сумма бесконечного ряда непрерывных функций окажется функцией разрывной , то данный ряд сходится к сумме не равномерно.(док-во от противного)
Т.18(об интегрировании функционального ряда)
Равномерно сходящийся ряд непрерывных функций на [a,b] можно почленно интегрировать на этом отрезке ,т.е.
Дано 1)
равномерн. На [a,b] 
2)Un(x)-непрерывная функция на [a,b]
Доказать
Доказательство
Аналогично Т.17
Т.19(о дифференцировании функциональных рядов)
Дано 1)
2)Un(x) имеют непрерывные производные на [a,b]
3)
Тогда исходный ряд можно почленно дифференцировать
Замечание 2 в Т.18 (4) можно записать для любого отрезка [a,x] где 
Док-во
Из (3) (по Т.18)его можно интегрировать на любом отрезке 
Тема степенные ряды
Опр. (действительного (вещественного) степенного ряда)
Х0-центр ряда.
Опр. (комплексного степенного ряда)
Замечание. Ряды (3) и (4) всегда можно получить соответственно из рядов (1)и (2) следующими заменами
x-x0=X
z-z0=Z
замечание
вся теория функциональных рядов переносится и на их яркий представитель –степенные ряды.
Теорема Абеля
Формулировка для ряда (3)
Если ряд (3) сходится в т. Х1 
0 ,то он:
1)абсолютно сходится в |x|<|x1| (5)
2)равномерно сходится на отрезке |x|<r<| x1| (6)
Док-во
1)абсолютная сход. т.к. ряд сходится в т. 
--- сходится числовой ряд выполняется необходимый признак :
она ограничена
5
