типовик интегралы 3 вариант

ВАРИАНТ №3

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ "КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ"

Задача №1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции f (x, y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств.

Решение: Начертим обозначенную в условии область D

Угловые точки области имеет координаты:

А(0;2) В(1;2)

Найдем координаты точки С:

Найдем частные производные функции.

Решим систему уравнений.

-6x-2y+4 = 0

-2x-2y+4 = 0

Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:

x = ^-1/₃y+²/₃

^-4/₃y+⁸/₃ = 0

Откуда y = 2

Данные значения y подставляем в выражение для x. Получаем: x = 0

Количество критических точек равно 1.

M₁(0;2)

Найдем частные производные второго порядка.

Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критической точке (0;2)

AC - B² = 8 > 0 и A < 0 , то в точке (0;2) имеется глобальный максимум f(0;2) = 4

Исследуем поведение функции на границе области

х=1

Подставим в функцию

Рассчитаем значения в угловых точках

Из полученных значений в глобальном максимуме и условных экстремумах выбираем максимальное и минимальное значение

Ответ:

Задача №2. В повторном интеграле изменить порядок интегрирования.

Решение:

Область интегрирования ограничена линиями:

Ответ:

Задача №3. Найти момент инерции плоской однородной пластинки D относительно оси OX. При вычислении двойного интеграла перейти к полярным координатам.

Решение:

Область интегрирования симметрична относительно оси абсцисс, следовательно, двойной интеграл равен нулю.

Ответ:

Задача №4. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела G заданного неравенствами.

Ответ: V=0

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ "ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ"

Задача № 1. Найти дивергенцию и ротор векторного поля , задава­емого векторным произведением .

Вектор и скалярное поле

Решение:

Найдем частные производные и градиент:

Найдем вектор

Ответ:

Задача №2. Вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуру L:х=0,у=0, х-у=2 пробегаемому против часовой стрелки двумя способами: непосредственно и по формуле Грина.

Решение:

Ответ: 4.

Задача № 3. Найти поток векторного поля, через замкнутую по­верхность, ограничивающую указанное тело G: , в направлении внеш­ней нормали к поверхности. Задачу решить двумя способами: непо­средственно, вычислив поток через все гладкие куски поверхности, и с помощью теоремы Гаусса-Остроградского.

Решение:

Рассчитаем поток с помощью теоремы Гаусса-Остроградского

Высота конуса в основании круг радиусом 1.

Представим искомый поток как сумму потоков   и   через гладкие куски, соответственно   (круг  ) и  поверхность конуса

На  , где  , имеем  , поэтому 

Ответ:

Задача № 4. Найти циркуляцию векторного поля по замкнуто­му контуру, ограничивающему указанную поверхность σ. Задачу решить двумя способами: вычислив непосредственно линейный ин­теграл векторного поля и применив формулу Стокса. Направление обхода контура выбрать произвольно.

Решение:

Ответ: 85,5

11