шпаргалка по Дифурам (Шпаргалочка)
Описание файла
Файл "шпаргалка по Дифурам" внутри архива находится в папке "Шпаргалочка". Документ из архива "Шпаргалочка", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "шпаргалка по Дифурам"
Текст из документа "шпаргалка по Дифурам"
1.Дифференциальные уравнения. Обыкновенным дифференциальным уравнением 1 порядка называется уравнение вида ,связывающее независимую переменную x, искомую функцию и её производную . При изложении теории дифференциальных уравнений чаще всего рассматриваются уравнения, разрешенные относительно производной : или уравнения в так называемой симметричной форме: Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция , которая, будучи подставленной вместе со своей производной в уравнение, обращает его в тождество Любое дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений. Множество всех частных решений дифференциального уравнения называется его общим решением. Общее решение дифференциального уравнения 1 порядка является функцией, зависящей от одной произвольной постоянной Если решение найдено в неявной форме то его называют общим интегралом дифференциального уравнения. | 2.Уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение 1 порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его правая часть есть произведение функций, одна из которых зависит от переменной x , другая – от y: . Уравнение, записанное в симметричной форме является уравнением с разделяющимися переменными, если множители и представляют собой произведение функций, из которых одна зависит только от переменной x , другая – от переменной y : Разделить переменные – значит преобразовать уравнение так, чтобы каждая переменная содержалась только в том слагаемом, которое содержит её дифференциал. Вид уравнения: Решение уравнения: приводим к уравнению с разделенными переменными ( ) путем деления общих частей уравнения на (предполагая что ):
В частности, уравнение вида приводим к уравнению делением обеих частей на N(y):
Пример. Решение: разделим обе части ур-ния на .
Потенцируя, найдем общее решение в виде | 3. Уравнения, приводящие к уравнениям с разделяющимися переменными. Многие дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть приведены к уравнениям с разделяющимися переменными. К числу таких уравнений относятся, например, уравнения вида где а и Ь — постоянные величины, которые заменой переменных z — ах+by преобразуются в уравнения с разделяющими переменными. Действительно, переходя к новым переменным х и z, будем иметь или И переменные разделились. Интегрируя, получим Пример. Полагая z=2x+y будем иметь Разделяя переменные получим и интегрируя получим К уравнен. с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные урав-ния 1 порядка имеющие вид |
4. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка. Линейным дифференциальным уравнением порядка называется уравнение, линейное относительно функции и её производной: - уравнение, линейное относительно ; - уравнение, линейное относительно . Здесь - заданные функции или константы. При уравнение называется однородным, при - неоднородным. Однородные линейные уравнения (Q=0) могут быть решены разделением переменных. Неоднородные линейные уравнения можно свести к последовательности двух уравнений с разделяющимися переменными подстановкой
. В линейном однородном уравнении переменные разделяются: И интегрируя получаем (2) При делении на у мы потеряли решение у , однако оно может быть включено в найденное семейство решений (2), если считать что с может принимать значение 0. | 5. Уравнения 1 порядка. Метод вариации произвольной постоянной. Для интегрирования неоднородного линейного уравнения
Может быть применен так называемый метод вариации постоянной При применении этого метода сначала интегрируется соответствующее однородное уравнение
О бщее решение которого имеет вид
При постоянном с, функция является решением однородного уравнения. Попробуем теперь удовлетворить неоднородному уравнению, считая с функцией х, т.е.по существу совершая замену переменных
Где с(х) – новая неизвестная функция х. Вычисляя производную
И подставляя в исходное неоднородное уравнение получим
Или
Откуда интегрируя находим
А следовательно
(*) Итак общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения.
и частного решения неоднородного уравнения
получающегося из (*) при с1=0. Пример
Интегрируем соответствующее однородное уравнение
Считаем с функцией х, тогда
И подставляя в исходное уравнение после упрощения получаем
Следовательно общее решение
| 6. Уравнение 1 порядка.Метод Бернулли Вид уравнения: где , – непрерывные функции или постоянные. Решение уравнения: метод Бернулли. Решение будем искать в виде , тогда Подставляя в уравнение получаем (1).Функцию будем искать, как частное решение дифф. урав-ния Тогда . Подставляя в уравнение (1), имеем Таким образом, общее решение линейного уравнения имеет вид: . |
10. Дифференциальные уравнение высших порядков. Общие сведения Диф.уравнения n порядка имеют вид , или если они не разрешены относительно старшей производной, Теорема.Существует единственное решение дифференц. уравнения n порядка , удовлетворяющее условиям , если в окрестности начальных значений функция f является непрерывной функцией всех своих аргументов и удовлетворяет условию Липшица(существует число q, 0<= q < 1 такое, что P(F(x), F(y))<= qP(x, y) для всех x, y принадл. X.) по всем аргументам, начиная со второго. Общим решением дифф.уравнения n порядка называется множество решений, состоящее из всех без исключения частных решений. Если правая часть уравнения в некоторой области изменения аргументов удовлетв.условиям теоремы, то общ.решение зависит от n параметров, в качестве которых могут быть выбраны, например начальные значения искомой функции и ее производных. | 11. Уравнения, допускающие понижение порядка. Решение сводится к двукратному интегрированию. Пример. . (явно не содержит y).При решении применяется замена . Подставляя в исходное уравнение, получаем уравнение 1 порядка . Решив его находим Так как , получаем общий интеграл исходного уравнения:
(явно не содержит x).При решении применяется замена (p – функция от y) Подставляя в исходное получаем - уравнение 1 порядка. Решая, найдем Т.к. то Разделяя переменные, находим общий интеграл исходного уравнения Пример. . Возвращаясь к замене имеем: | 14. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Лин.Диф.Ур-нием n порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производных и, следовательно, имеющее вид: (1) Если правая часть , то уравнение называется линейным однородным, т.к.оно однородно относительно неизвестной ф-ии и ее производных.,иначе называется не однородным. Если то данное уравнение является нестационарным, а если то уравнение стационарное. Т1. Если есть решение диф.ура . То также является решением этого этого ур-ния. Т2. Если есть решение уравнения (1), то также явл.решением данного ур-ния. Замечание: Если 2 решения можно определить как то такие решения называются линейно зависимыми. –линейно не зависимыми. Т3.Если есть лин.зависимые решения ур-ния (1), то определитель Вронского =0.
Т4. Если на каком либо отрезке при начальных условиях и определитель Вронского в этой точке , то во всех остальных точках отрезка опред-ль Вронского Т5. Если есть лин.независимые частные решения ур-ния (1), то общее решение этого уравнения можно представить в виде: . 1.это выражение явл-ся решением 2.это решение явл-ся общим решением.( ) |
15. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Метод Подбора
Т.Общее решение лин.неоднородного ур-ния может быть представлено как сумма двух решений. где -общее решение, -к-либо частное решение неоднородн.ур-ния. Пусть есть решения соответств. однородного ур-ния:
(скобка =0).
;
- общее решение для любых началных условий Метод подбора.
, если не есть корень характеристического ур-ния
(сокращаем на )
Если тогда => Пример.
-общ.решение.
| 16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Метод вариации произвольной постоянной
Пример.
…
| 17. Уравнение Эйлера где все постоянные, называются уравнениями Эйлера. Ур-ние Эйлера заменой независимого переменного x= (t=lnx; y(x)=y(x(t)))преобразуется в линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Линейно входящие в ур-ние Эйл. с постоянными коэфф.произведения линейно выражаются через производные функции у по новой независимой переменной t. Отсюда => что преобразованное ур-ние будет линейным однородным ур-нием с постоянными коэффициентами. Пример.
Если уравнение не однородное то переменную x на заменяют как в левой так и в правой частях. Если уравнение более высокого порядка, чем 2 то замена на происходит по аналогичной схеме. |
13. Уравнение Клеро Дифференцируя по получим: ; или =0; откуда или =0 и, значит, или В первом случае, исключая - однопараметрическое семейство интегральных прямых (общее решение). Во втором случае решение определяется уравнениями и Интегральная кривая определяемая данными уравнениями является огибающей семейства интегральных прямых.(т.е. огибающая некоторого семейства имеют вид и и от тех уравнений отличается лишь обозначением параметра (с вместо p)) Особое решение. Необходимо исключить параметр . Соотношение определяет дискриминантную кривую, касательными к которой будет общие решения (по отношению к ним дискриминантная кривая - огибающая). Пример. , где ; Общее: -семейство прямых, Особое решение: Исключая параметр : - огибающая для семейства прямых. | 18. Общее понятие разностных уравнений В качестве аналогов дифф.уров можно рассм. разностные ур-ния. При использовании обратных разностей линейные неоднородные разностные уравнения имеют вид: где f[n] –заданная, а y[n] –искомая решетчатые ф-ции. При уравнение становится однородным. Другой вид разн. ур-ния Это разностное ур-ние можно рассматривать как рекуррентное отношение позволяющее вычислять значения y[n] для любых n по известному значению функции в правой части уравнения и начальным условиям y[n-1],…y[n-m]. Такие вычисления легко выполняются на счетных машинах, а также не представляют никаких принципиальных трудностей и при ручном счете, даже в тех случаях кошда коэффициенты в левой части уравнения меняются по времени. Это отличает разностные уравнения от непрерывных аналогов – дифф.уров. Общее решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристичесого уравнения может быть записано след.образом где -корни характеристического уравнения а -произвольные постоянные. | 19. Решетчатые функции Решетчатая ф-ция не обязательно должна формироваться из некоторой исходной непрерывной функции. Любая числовая посл-ть некоторой величины, определенной в дискретные равноотстоящие моменты времени, может трактоваться как решетчатая функция. Обратная задача – формирование непрерывной функции из решетчатой – не может быть решена однозначно, т.к. ф-ции, заданной в дискретные моменты времени, может соответствовать бесконечное множество непрерывных функций. Непрерывные функции, совпадающие с заданными дискретами, называются огибающими решетчатой функции. Прямая и обратная разности. Аналогом первой производной непрерывной функции для решетчатой функции является либо первая прямая разность либо первая обратная разность . Прямая разность определяется в момент времени t=nT по будущему значению решетчатой функции при t=(n+1)T. Это можно сделать в тех случаях, когда будущее значение известно, либо, если это будущее значение нужно вычислить. Обратная разность определяется для момента времени t=nT по прошлому значению решетчатой функции в момент времени (n-1)T. Важная особенность обратных разностей. Если решетчатая ф-ция определена только для положительных значений аргумента, т.е. f[n] при n<0 то в точке n=0 для положительного k. |
24. Линейные стационарные неоднородные разностные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных. Общее решение линейного уравнения с правой частью получается из общего решения соответствующего уравнения без правой части с помощью квадратур. Для этого можно применить следующий прием. В общем решении уравнения без правой части заменяем все произвольные постоянные неизвестными функциями. Полученное выражение дифференцируем и попутно подчиняем неизвестные функции добавочным условиям, упрощающим вид последовательных производных. Подставляя выражение производных y’, y’’, y’’’ и т.д. в данное уравнение, получаем еще одно условие, налагаемое на неизвестные функции. Тогда оказывается возможным найти первые производные всех неизвестных функций и остается выполнить квадратуры. Этот метод применим к линейным уравнениям любого порядка как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. Рассмотрим уравнение второго порядка: y’’+P(x)y’+Q(x)=R(x) (1) Пусть общее решение соответствующего уравнения без правой части есть y=C1f1(x)+C2f2(x). (2) Ищем общее решения уравнения (1) в виде (2), считая теперь C1 и С2 неизвестными функциями от х. Дифференцируя (2), находим: y’=C1f1’(x)+C2f2’(x)+ C1’f1(x)+C2’f2(x) (3) Вводим добавочное условие C1’f1(x)+C2’f2(x)=0. (4) Тогда вид первой производной упрощается, и мы имеем: y’= C1f1’(x)+C2f2’(x). (5) Дифференцируя еще раз имеем: y’’= C1f1’’(x)+C2f2’’(x)+ C1’f1’(x)+C2’f2’(x) (6) После подстановки выражений (2), (5) и (6) в уравнение (1) все члены, содержащие С1, взаимно уничтожатся (ибо функция y=f1(x) есть решение уравнения y’’+Py’+Qy=0); точно так же взаимно уничтожатся все члены, содержащие С2, и мы получим еще одно условие C1’f1’(x)+C2’f2’(x)=R(x) (7) Условия (4) и (7) позволяют найти выражения производных С1’, C2’ и остается выполнить квадратуры. | 25. Общие сведения о линейных системах. Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, содержащих несколько неизвестных функций и их производные, причем в каждое из уравнений входит хотя бы одна производная. На практике имеют дело с такими системами, где число уравнений равно числу неизвестных. Система называется линейной, если неизвестные функции и их производные входят в каждое из уравнений только в первой степени. Линейная система имеет нормальный вид, когда она решена относительно всех производных. | 26. Метод сведения линейной системы к одному уравнению. Пример 1. Система дифференциальных уравнений
- линейная; она имеет нормальный вид. в этом примере мы имеем линейную систему с постоянными коэффициентами (коэффициенты при неизвестных функциях и их производных постоянны). Из линейной системы (присоединяя к ней уравнения, выведенные дифференцированием) можно исключить все неизвестные (и их производные), кроме одной. Полученное уравнение будет содержать одну неизвестную функцию и ее производную первого и более высоких порядков. Это уравнение тоже будет линейным, а если исходная система была системой с постоянными коэффициентами, то и найденное уравнение высшего порядка будет иметь постоянные коэффициенты. Разыскав неизвестную функцию этого уравнения, подставляем ее выражение в данные уравнения и находим остальные неизвестные функции. Пример 2. Решить линейную систему примера 1. Решение: Чтобы исключить y и , продифференцируем (1). Получим: = - + 3t. (3) Из уравнения (1) находим выражение y через t, x и ; подставляя в (2), найдем выражение через те же величины. Подставляя это выражение в (3), получим линейное уравнение второго порядка + - 6х=3t2-t-1 (4) Находим его общее решение x=C1e2t+C2e-3t - t2 (5) Это выражение подставляем в уравнение (1) и находим вторую неизвестную функцию y = - + x + t2 = - C1e2t + 4C2e-3t + t2 + t (6) |