Д.У.Пособие6 (дифференциальные уравнения - пособие)
Описание файла
Файл "Д.У.Пособие6" внутри архива находится в папке "дифференциальные уравнения - пособие". Документ из архива "дифференциальные уравнения - пособие", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Д.У.Пособие6"
Текст из документа "Д.У.Пособие6"
55
10.Найти общее решение дифференциального уравнения
Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Составляем характеристическое уравнение . Найдем его корни: ; ; .
Общее решение однородного уравнения запишется в виде: .
Стоящая в правой части функция является правой частью второго типа. Имеем
, , =0, =1. Число не является корнем характеристического уравнения, значит . Частное решение ищем в виде = , где - многочлены нулевой степени, поскольку наибольшее из чисел и равно нулю. Тогда =
Подставляя в уравнение, получаем:
Приравнивая коэффициенты при синусах и косинусах в правой и левой частях уравнения, получаем: 2А=0, 2В=4. Следовательно В=2. Тогда .
Следовательно, общее решение уравнения имеет вид
11.Найти общее решение дифференциального уравнения
Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Составляем характеристическое уравнение . Найдем его корни: ; ; .
Общее решение однородного уравнения запишется в виде: .
Исходное уравнение имеет правую часть первого типа: , , . Число не встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=0. Будем искать в виде = , где - многочлен третьей степени. Тогда = . Коэффициенты А , В и С определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению. Найдем :
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Приводим подобные в левой части уравнения:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях, получаем:
Следовательно А=1, В=0, С=0, D=0. Тогда частное решение запишется в виде = .
Следовательно, общее решение исходного уравнения равно:
12.Найти решение системы дифференциальных уравнений удовлетворяющее начальным условиям x(0)=2, y(0)=1.
Продифференцируем первое уравнение. Получаем
Подставим в полученное уравнение значение , взятое из второго уравнения системы. Получаем
Из первого уравнения системы выразим : .
Тогда уравнение можно переписать в виде
. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка для определения неизвестной функции . Приводя подобные, запишем его в виде
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
Решение дифференциального уравнения имеет вид
, где - произвольные постоянные.
Найдем . Так как , то, подставляя , получаем:
Тогда общее решение системы имеет вид:
Где - произвольные постоянные.
Используя начальные условия, найдем произвольные постоянные.
Так как x(0)=2, y(0)=1, то для определения имеем систему уравнений:
Литература
1.Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Высшая математика том 3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Изд. 5-е, стереотип. «Дрофа» М., 2003 г.
2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление, тт. 1-2, М., Наука, 2000 г.
3.В.А. Ильин, А.В. Куркина. Высшая математика. Изд-во МГУ, М., 2004г.
4.Б.П.Демидович. Сборник задач по математическому анализу. Изд-во «АСТ Астрель», М., 2003 г.
5.Катасонов А.М. Дифференциальные уравнения. Программированное учебное пособие. МГАПИ, М., 1997.
6. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Изд-во МГУ, М., 2004г.