Д.У.Пособие5 (дифференциальные уравнения - пособие)
Описание файла
Файл "Д.У.Пособие5" внутри архива находится в папке "дифференциальные уравнения - пособие". Документ из архива "дифференциальные уравнения - пособие", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Д.У.Пособие5"
Текст из документа "Д.У.Пособие5"
50
Часть 5. Пример решения варианта конкретного задания.
1.Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.
Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными
Тогда 
, 
. Заметим, что 
. Разделяем переменные:
.
Интегрируя правую и левую части, получаем
.
После вычисления интегралов имеем: 
.
Ответ: 
.
2.Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.
Данное уравнение является однородным. Будем искать неизвестную функцию 
в виде 
. Тогда 
. Подставляя 
и 
в исходное уравнение, получаем:
.
Полученное уравнение преобразуем к виду
.
Разделяем переменные
.
Интегрируем правую и левую части
+
.
(В нашем случае произвольную постоянную удобнее обозначить не С, а , где 
). Вычисляя интегралы в правой и левой частях уравнения, получаем
.
Потенцируя, имеем
.
Избавляясь от знака модуля, получаем
.
Поскольку 
, то полученное соотношение может быть представлено в виде
.
Данное выражение преобразуем к виду
Заметим, что в уравнении , выражение 
при 
. Следовательно, функция 
является решением дифференциального уравнения для неизвестной функции 
, а значит, функция 
является решением исходного дифференциального уравнения.
Решение содержится в решении , если положить С=0.
Ответ: , где С – произвольная постоянная.
3.Найти решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию y(0)=1.
Вначале найдем общее решение этого уравнения. Будем искать 
в виде 
. Тогда 
=
. Подставляя и в исходное уравнение, получаем: +
; 
.
Выберем функцию 
из условия 
. Уравнение для функции является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , 
; 
; 
; 
.
Найдем функцию : 
; 
; 
; 
.
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид
.
Произвольную постоянную С определим из условия 
: 
.
Ответ: 
.
4.Найти решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию y(0)=2.
Данное уравнение является уравнением Бернулли. Будем искать в виде . Тогда, подставляя и в исходное уравнение, получим 
. Функцию определяем из условия: 
; 
; 
; 
; 
. Определим : 
; 
; 
+С; 
; 
.
Следовательно, общее решение имеет вид 
.
Из условия 
определяем произвольную постоянную С: 
; С=0.
Ответ: 
.
5.Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Это уравнение явно не содержит y . Обозначим 
. Тогда: 
. Подставляя в исходное уравнение, получаем
.
Уравнение для определения функции 
линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать 
в виде 
. Тогда 
= . Подставляя и в исходное уравнение, получаем: +
; 
.
Выберем функцию из условия 
. Уравнение для функции является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , 
; 
; 
; 
.
Найдем функцию : 
; 
; 
; 
.
Тогда для функции 
имеем выражение
.
Так как , то
=
,
где 
- произвольные постоянные.
Ответ: 
6.Найти решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)=
, 
.
Так как исходное уравнение явно не содержит независимую переменную 
, будем искать в виде 
. Тогда 
.
Подставляя 
и в исходное уравнение, получаем
.
Полученное для 
уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: 
, 
, 
, 
. Определим произвольную постоянную С. Так как по условию при 
имеем 
, а 
, то 
при 
. Тогда 
, С=
. Следовательно, 
или 
. Знак плюс при извлечении корня выбран потому, что - положительное число. Неизвестную функцию определяем из уравнения 
. Найдем его решение: 
, 
, 
, 
. Так как , то 
, 
. Следовательно, 
, 
.
Ответ: .
7.Найти решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям 
.
Найдем решение однородного уравнения. Составляем характеристическое уравнение: 
. Найдем его корни: 
. Однородное уравнение имеет два линейно независимых решения 
и 
. Частное решение 
ищем в виде
, где функции 
и 
удовлетворяют системе уравнений:
.
Решая систему, получаем: 
, 
.
Находим 
и 
: 
, 
. Для нахождения первого интеграла сделаем замену переменной 
. Тогда 
, 
. Подставляя в выражение для интеграла, получаем
При вычислении второго интеграла сделаем аналогичную замену переменных.
.
Тогда 
Общее решение однородного уравнения равно: 
.
Общее решение исходного уравнения запишется в виде:
Из условия 
получаем
.
Найдем производную общего решения:
+
Из условия 
получаем: 
.
Для определения и имеем систему уравнений
Решая эту систему, получаем
,
.
Тогда
+
+
=
+
= 
.
Ответ: 
.
8.Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения 
. Составляем характеристическое уравнение . Найдем его корни: ; 
; 
.
Общее решение однородного уравнения запишется в виде: 
.
Исходное уравнение имеет правую часть первого типа: 
, 
, 
. Число не встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=0. Будем искать 
в виде =
, где - многочлен второй степени. Тогда =
. Коэффициенты А , В и С определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению. Найдем 
: 
;
.
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Приводим подобные в левой части уравнения:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях, получаем:
Следовательно А=1, В=0, С=3. Тогда частное решение запишется в виде =
.
Следовательно, общее решение исходного уравнения равно:
+
.
Ответ: + .
9.Найти решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям 
.
Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составляем характеристическое уравнение: 
. Найдем его корни: ; 
; 
.
Общее решение однородного уравнения запишется в виде: 
.
Найдем частное решение. Правую часть представим как сумму двух функций 
и 
, где 
=
, 
.
Рассмотрим уравнение
.
Функция = соответствует правой части первого типа: 
, 
, n=1. Число =1 не встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=0. Будем искать в виде 
=
, где 
- многочлен первой степени. Тогда =
. Коэффициенты А и В определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению. Найдем 
:
;
.
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
=
Сокращаем правую и левую части на 
и приводим подобные в левой части:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях, получаем: 
. Следовательно А=1, В=0. Тогда частное решение запишется в виде =
.
Рассмотрим уравнение
.
Функция 
=
соответствует правой части первого типа: 
, 
, n=0. Число =2 один раз встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=1. Будем искать в виде =
, где 
- многочлен первой степени. Тогда =
. Коэффициенты А и В определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению. Найдем :
;
.
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Сокращаем правую и левую части на 
и приводим подобные в левой части:
.
Следовательно А=1. Тогда частное решение запишется в виде 
=
.
Общее решение уравнения равно 
.
Из условия получаем
.
Найдем производную общего решения:
+
Из условия получаем: 
.
Для определения и имеем систему уравнений
Решая эту систему, получаем 
,
.
Тогда 
.
Ответ: .
