Д.У.Пособие4 (дифференциальные уравнения - пособие)
Описание файла
Файл "Д.У.Пособие4" внутри архива находится в папке "дифференциальные уравнения - пособие". Документ из архива "дифференциальные уравнения - пособие", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Д.У.Пособие4"
Текст из документа "Д.У.Пособие4"
40
Часть 4. Решение систем линейных дифференциальных уравнений.
Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система вида
Задачей Коши для системы дифференциальных уравнений называется задача нахождения частного решения указанной системы, удовлетворяющего условиям
Одним из методов решения систем дифференциальных уравнений, является метод исключения, который позволяет систему n дифференциальных уравнений первого порядка свести к одному дифференциальному уравнению порядка n.
Пример. Найти решение системы дифференциальных уравнений
Эта система является системой двух дифференциальных уравнений первого порядка для двух неизвестных функций. Сведем ее к одному дифференциальному уравнению второго порядка. Для этого из одного из уравнений (например из первого) выразим функцию и продифференцируем, то есть найдем . Подставим и во второе уравнение. В результате мы получим дифференциальное уравнение второго порядка для функции . Рассмотрим решение по указанной схеме данного примера. Продифференцируем первое уравнение. Получаем
Подставим в полученное уравнение значение , взятое из второго уравнения системы.
Из первого уравнения системы выразим : .
Тогда уравнение можно переписать в виде
. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка для определения неизвестной функции . Приводя подобные, запишем его в виде
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
Решение дифференциального уравнения имеет вид
, где - произвольные постоянные.
Найдем . Так как , то, подставляя , получаем:
Тогда общее решение системы имеет вид:
Где - произвольные постоянные.
Используя начальные условия, найдем произвольные постоянные.
Так как , то для определения имеем систему уравнений:
Пример. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений
Продифференцируем первое уравнение.
Получаем
Подставим в полученное уравнение значение , взятое из второго уравнения системы.
Получаем
Из первого уравнения системы выразим : .
Тогда уравнение можно переписать в виде
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка для определения неизвестной функции . Приводя подобные, запишем его в виде .
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
Решение дифференциального уравнения имеет вид
где - произвольные постоянные.
Найдем . Так как , то, подставляя , получаем:
Тогда общее решение системы имеет вид:
Где - произвольные постоянные.
Пример. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений
Продифференцируем первое уравнение. Получаем
Подставим в полученное уравнение значение , взятое из второго уравнения системы.
Получаем
Из первого уравнения системы выразим : .
Тогда уравнение можно переписать в виде
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка для определения неизвестной функции . Приводя подобные, запишем его в виде
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
Решение дифференциального уравнения имеет вид
, где - произвольные постоянные.
Найдем . Так как , то, подставляя , получаем:
Тогда общее решение системы имеет вид:
Где - произвольные постоянные.
40