Д.У.Пособие2 (дифференциальные уравнения - пособие)

24

Часть 2. Уравнения высших порядков допускающие понижение порядка.

Далее перейдем к уравнениям более высокого порядка.

Дифференциальным уравнением порядка , разрешенным относительно старшей производной, называется дифференциальное уравнение вида

.

Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция , при подстановке которой в дифференциальное уравнение, оно превращается в тождество.

Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка называется задача отыскания решения дифференциального уравнения

,

удовлетворяющего условиям

, , ,…, .

Известно, что при определенных условиях задача Коши имеет решение и при том единственное.

Общим решением дифференциального уравнения называется совокупность функций , где - произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:

1. При любом наборе произвольных постоянных функция является частным решением дифференциального уравнения;

2. Для любых начальных условий задачи Коши , , ,…, при существует такой набор значений произвольных постоянных , что выполнены условия , ,…….,

.

В контрольной работе присутствуют два типа уравнений, допускающих понижение порядка.

Первый тип - это уравнения, которые явно не содержат неизвестную функцию и ее производные до некоторого порядка .

Пусть дано уравнение порядка n вида

,

то есть в данное уравнение явно не входят неизвестная функция и производные этой функции до порядка k-1 включительно. Введем новую неизвестную функцию . Производные функции выразятся через производные функции следующим образом: ,…, . Подставляя в исходное уравнение, получаем . Полученное уравнение для функции является уравнением более низкого порядка. Если функция определена, то функция определяется интегрированием соотношения = .

Пример. При x>0 найти общее решение дифференциального уравнения

.

Это уравнение явно не содержит y и . Обозначим . Тогда: . Подставляя в исходное уравнение, получаем

.

Уравнение для определения функции является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: ; ; ; ; ; ; .

Так как , то = . Тогда .

Обозначим .

Ответ: , где - произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Данное уравнение не содержит явно неизвестную функцию . Введем новую неизвестную функцию . Тогда и уравнение преобразуется к виду

.

Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем:

; .

Выберем функцию из условия . Уравнение для функции является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , ; ; ; , .

Найдем функцию :

; ; .

Тогда

= .

Определим .

=

= =

.

Так как является так же произвольной постоянной, то окончательный ответ может быть записан в виде

.

Ответ: .

Второй тип уравнений, допускающих понижение порядка, - это уравнения, которые явно не содержат независимую переменную . (Мы будем рассматривать только уравнения второго порядка, однако предложенный метод применим и для уравнений более высокого порядка.) Пусть дано уравнение вида

.

Будем искать производную как функцию в виде , где - неизвестная функция. Тогда

= = = .

Подставляя и в исходное уравнение, получаем

.

Полученное уравнение является уравнением первого порядка для функции . Если нам удастся найти функцию , то для определения имеем уравнение , которое является уравнением с разделяющимися переменными.

Замечание. При изложенном методе могут быть потерянны решения , то есть . Поэтому такие решения рекомендуется выписывать отдельно.

Пример. Найти решение задачи Коши:

, , .

Будем искать в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем .

Полученное для уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , , , . Определим произвольную постоянную С. Так как при имеем , а , то при . Тогда 32=32+С, С=0. Следовательно, или . Знак плюс при извлечении корня выбран потому, что - положительное число. Неизвестную функцию определяем из уравнения . Найдем его решение: . Поскольку , то , , , . Так как , то , . Следовательно, .

Ответ: .

Пример. Найти решение задачи Коши:

, , .

Будем искать в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем .

Полученное для уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , , , . Определим произвольную постоянную С. Так как по условию при имеем , а , то при . Тогда = +С, С=0. Следовательно, или . Знак минус при извлечении корня выберем потому, что - отрицательное число. Неизвестную функцию определяем из уравнения . Найдем его решение: , , , , . Так как , то , . Следовательно, .

Ответ: .

Пример. Решить задачу Коши

, , .

Будем искать в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем .

Полученное для уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , , , , .

Определим произвольную постоянную С. Так как при имеем , а , то при . Тогда , С=0. Следовательно, или . Знак плюс при извлечении корня выберем плюс потому, что - положительное число. Тогда . Неизвестную функцию определяем из уравнения . Найдем его решение: , , , . Так как , то , .

Следовательно, .

Ответ: .

Схема исследования приведенных уравнений сведена в таблицу 2.

Таблица 2.

24