Евклидово Пространство (Задачи для подготовки к экзамену - Решение)
Описание файла
Файл "Евклидово Пространство" внутри архива находится в папке "Прорешанные задачи для подготовки к экзамену". Документ из архива "Задачи для подготовки к экзамену - Решение", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "алгебра и геометрия" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Евклидово Пространство"
Текст из документа "Евклидово Пространство"
Задачи для подготовки к экзамену и контрольной работе №5
«Евклидовы пространства». (2 семестр)
5.1. Базис является ортонормированным. Составить матрицу Грама в базисе .
Решение:
Базис - ортонормированный, следовательно, , .
Находим матрицу Грама в базисе :
5.2. Матрица Грама в базисе имеет вид
1) Найти длины базисных векторов и угол между ними.
2) Найти длины векторов и угол между ними.
Решение:
1) Находим длины базисных векторов и их скалярное произведение:
Отсюда находим угол между базисными векторами:
2) Находим длины векторов и их скалярное произведение:
Отсюда находим угол между векторами:
5.3. Найти длины векторов и угол между ними, если матрица Грама в базисе имеет вид
Решение:
Находим длины векторов и их скалярное произведение:
Отсюда находим угол между векторами:
5.4. Ортогонализовать базис , матрица Грама в котором имеет вид
Решение:
Ортогонализуем данный базис методом Грама-Шмидта:
Получаем ортогональный базис .
5.5. Ортогональный оператор, действующий в пространстве геометрических векторов V3, переводит базисные орты и в векторы и . Чему равен образ орта .
Решение:
Если данный ортогональный оператор переводит орт в вектор , то т.к. ортогональный оператор сохраняет метрику пространства, то должны быть выполнены условия
т.е. образом орта является вектор или противоположный ему.
5.6. Оператор переводит векторы ортонормированного базиса в векторы
. Является ли он ортогональным?
Решение:
Матрица данного оператора имеет вид:
Оператор ортогонален, если его матрица в ортонормированном базисе ортогональна. Проверяем ортогональность матрицы:
Условия ортогональности матрицы выполнены – данный оператор является ортогональным.
5.7. Является ли ортогональным оператор, имеющий в некотором ортонормированном базисе матрицу
Решение:
Оператор ортогонален, если его матрица в ортонормированном базисе ортогональна. Проверяем ортогональность матрицы:
Условия ортогональности матрицы выполнены – данный оператор является ортогональным.
7