Билинейные и Квадратичные Формы (Задачи для подготовки к экзамену - Решение)

Задачи для подготовки к экзамену и контрольной работе по теме №4

«Квадратичные формы». (2 семестр)

4.1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа. Найти положительный, отрицательный индексы и ранг формы.

Решение:

Приводим данную квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа, выделяя полные квадраты:

где

Положительный индекс формы (кол-во положительных коэффициентов) равен 2, отрицательный индекс формы (кол-во отрицательных коэффициентов) равен 1, ранг формы (кол-во ненулевых коэффициентов) равен 3.

4.2. Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

Решение:

Находим матрицу квадратичной формы и ее главные миноры:

Первые два главных минора матрицы данной квадратичной формы положительны, третий - отрицателен – данная квадратичная форма является знаконеопределенной (по критерию Сильвестра).

4.3. Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

Решение:

Находим матрицу квадратичной формы и ее главные миноры:

Все главные миноры матрицы данной квадратичной формы положительны – данная квадратичная форма является положительно определенной (по критерию Сильвестра).

4.4. Найти все значения параметра λ, при которых квадратичная форма положительно определена.

Решение:

Согласно критерию Сильвестра, квадратичная форма положительно определена, если главные миноры ее матрицы положительны. Находим матрицу квадратичной формы и ее главные миноры:

т.е. данная квадратичная форма положительно определена при .

4.5. Значение квадратичной формы на векторе равно . Как выражается через координаты вектора в базисе ?

Решение:

Матрица данной квадратичную формы имеет вид:

Матрица перехода от базиса к базису имеет вид:

Следовательно, матрица данной квадратичной формы в базисе имеет вид:

т.е. выражается через координаты вектора в базисе следующим образом:

4.6. Ортогональным преобразованием привести квадратичную форму

к каноническому виду. Найти положительный, отрицательный индексы и ранг формы.

Решение:

Матрица данной квадратичной формы имеет вид:

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы:

Для

Для

Получаем матрицу ортогонального преобразования

переводящего данную квадратичную форму к каноническому виду

Положительный индекс формы (кол-во положительных собственных значений) равен 1, отрицательный индекс формы (кол-во отрицательных собственных значений) равен 1, ранг формы (ранг ее матрицы) равен 2.

4.7. Ортогональным преобразованием привести квадратичную форму

к каноническому виду. Найти положительный, отрицательный индексы и ранг формы.

Решение:

Матрица данной квадратичной формы имеет вид:

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы:

Для

Для

Для

Получаем матрицу ортогонального преобразования

переводящего данную квадратичную форму к каноническому виду

Положительный индекс формы (кол-во положительных собственных значений) равен 2, отрицательный индекс формы (кол-во отрицательных собственных значений) равен 1, ранг формы (ранг ее матрицы) равен 3.

4.8. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка, определить ее тип, найти каноническую систему координат и сделать чертеж:

Решение:

Находим ортогональные инварианты кривой:

Находим корни характеристического уравнения

S=2≠0, δ=0, Δ=-64≠0 – уравнение определяет параболу с фокальным параметром

т.е. каноническое уравнение линии имеет вид

Для приведения к каноническим осям, т.к. а₁₂=1≠0 – необходим поворот осей координат на угол

При преобразование координат имеет вид:

Подставляя в исходное уравнение, получаем уравнение линии в системе координат Оx'y':

Преобразование параллельного переноса с новым началом координат в точке (x'₀;y'₀) = ( ) и уравнениями преобразования координат

приводит уравнение линии к каноническому виду:

Координаты вершины параболы в исходной системе координат:

т.е. вершина параболы находится в точке (х₀,у₀)=(2;1).

Ось параболы:

Чертеж линии и соответствующих осей координат показан на рисунке:

10