Типовой Расчет (2-й семестр) 20 Вариант (Вариант 20 - Типовой расчет)

Задание 1.1

Найти рациональнее корни и разложить многочлен

А) на линейные множители

Б) на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами

Решение

Подбором находим, что является корнем, так как

Разделим на

Найдем нули многочлена

Тогда, получаем

А)

Б)

Задание 1.2

Найти рациональнее корни и разложить многочлен

А) на линейные множители

Б) на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами, если известен корень

Решение

Если - корень уравнения с действительными коэффициентами, то и также является корнем, значит, многочлен делится на

Разделим

Тогда, получаем

Найдем нули многочлена

Тогда, получаем

А)

Б)

Задание 1.3

Решить уравнение. Корни уравнения изобразить на плоскости

Решение

Рассмотрим сначала уравнение

Применим формулу Муавра

Рассмотрим сначала уравнение

Применим формулу Муавра

Обозначим корни на координатной плоскости

Задание 1.4

Представить комплексное число z в алгебраической, тригонометрической и показательной форме

Решение

Получили показательную форму

- получили тригонометрическую форму

- получили алгебраическую форму

Задание 2.1

Векторы заданы своими координатами в каноническом базисе пространства .

1) Показать, что векторы образуют базис пространства

2) Найти координаты вектора в базисе (с помощью мат­рицы перехода). Сделать проверку.

Решение

Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы базис.

Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор нельзя разложить по данному базису.

Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа , сто имеет место равенство:

или в векторной форме

Решим данную систему

Значит,

Задание 2.2

Доказать, что векторы вида обра­зуют линейное подпространство в пространстве R⁴. Найти базис и размерность этого подпространства. Дополнить базис подпро­странства до базиса всего пространства. Найти матрицу перехода от канонического базиса пространства R⁴ к построенному базису.

Решение

Множество K  из линейного пространства L называется линейным подпространством пространства L , если сумма x + y любых двух векторов x и y из L принадлежит K и произведение α·x любого любого числа α и любого вектора x и y из L принадлежит K

Тогда, получаем

Значит, множество векторов обра­зуют линейное подпространство в пространстве R⁴.

Найдем базис и размерность. Любой элемент из K может быть представлен в виде , то есть в виде линейной комбинации трех векторов.

Найдем ранг данной системы векторов, то есть ранг матрицы

. Привели матрицу к верхнетреугольному виду, значит, ранг матрицы равен 3, значит, векторы образуют базис в К, размерность пространства равна 3. Так как размерность всего пространства равна 4, чтобы дополнить этот базис до базиса всего пространства нужно добавить еще 1 базисный элемент, чтобы все 4 были линейно независимы.

В качестве такого элемента можно взять так как определитель

Задание 2.3

Пусть М - множество многочленов с веще­ственными коэффициентами, удовлетворяющих указанным усло­виям. Доказать, что М - линейное подпространство в , найти его базис и размерность. Дополнить базис М до базиса всего про­странства . Найти матрицу перехода от канонического базиса пространства к построенному базису.

Решение

Любой многочлен из пространства имеет вид . При этом так как коэффициенты действительные, то если корень, то и корень, то есть многочлен можно еще записать в виде

Множество K  из линейного пространства L называется линейным подпространством пространства L , если сумма x + y любых двух элементов x и y из L принадлежит K и произведение α·x любого любого числа α и любого x и y из L принадлежит K

Тогда, получаем

Найдем базис и размерность подпространства К. Рассмотрим произвольный элемент из этого подпространства

. Покажем, что эти многочлены линейно независимы.

Составим определитель Вронского и вычислим его значение при

При получаем

Для того, чтобы функции  были линейно независимыми, достаточно, чтобы  данный определитель отличался от 0 хотя бы в одной точке, значит, многочлены образуют базис и размерность подпространства равна 3

Так как размерность всего пространства равна 4, чтобы дополнить этот базис до базиса всего пространства нужно добавить еще 1 базисный элемент, чтобы все 4 были линейно независимы.

В качестве такого элемента можно взять, к примеру, значение

Задание 2.4

Доказать, что множество матриц М является под­пространством в пространстве всех матриц данного размера. Построить базис и найти размерность подпространства М. Прове­рить, что матрица В принадлежит М и разложить се по найден­ному базису.

Решение

Множество K  из линейного пространства L называется линейным подпространством пространства L , если сумма x + y любых двух элементов x и y из L принадлежит K и произведение α·x любого любого числа α и любого x и y из L принадлежит K

Тогда, получаем

Найдем базис и размерность. Любой элемент из K может быть представлен в виде , то есть в виде линейной комбинации двух матриц. Очевидно, что такая линейная комбинация равна нулевой матрице, тогда и только тогда, когда . Таким образом, матрицы образуют базис в К, размерность пространства равна 2. Так как размерность всего пространства равна 4, чтобы дополнить этот базис до базиса всего пространства нужно добавить еще 2 базисных элемента, чтобы все 4 были линейно независимы. В качестве таких матриц можно взять

Задание 2.5

Исследовать систему функции на линейную зависимость

Решение

Найдем определитель Вронского для данной системы функции

Для того, чтобы функции  были линейно независимыми, достаточно, чтобы  данный определитель отличался от 0 хотя бы в одной точке

Возьмем

Значит, система функции линейно независима

Задание 3.1

Линейный оператор в пространстве есть последовательное применение линейных операторов . Найти матрицы операторов в базисе . Обратим ли оператор . Если да, то описать его геометрическое действие

- векторное умножение на вектор

поворот вокруг оси OY на 90

Решение

Пусть искомый вектор, найдем

При выполнении оператора получаем преобразование , то есть

, тогда получаем

То есть, матрица оператора есть

Так как , то оператор не имеет обратного

Задание 3.2

Линейный оператор в пространстве геометри­ческих векторов определяется действием отображения на концы радиус-векторов точек трехмерного пространства.

1) Найти матрицу линейного оператора в подходящем базисе пространства , а затем в каноническом базисе

2) В какую точку трехмерного пространства переходит точка с координатами (1, 0, 0) под действием отображения ?

3) Найти , где А — матрица оператора в базисе

- отражение относительно плоскости

Решение

Пусть произвольная точка. Найдем симметричную ей относительно плоскости .

Нормальный вектор плоскости равен , значит, уравнение прямой, перпендикулярной плоскости есть

Найдем точку пересечения прямой и плоскости

, тогда точка пересечения есть

Данная точка есть середина отрезка между точкой и симметричной точкой , тогда получаем

Значит, матрица оператора есть

Точка (1, 0, 0) переходит в точку

3) Если исходная точка, отображенная точка, то тогда если исходная точка, то - отображенная точка, тогда получаем, что

Задание 3.3

Пусть А- матрица оператора из задачи 3.2 в каноническом базисе . Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы А. Объясните, как полученный результат связан с геометрическим действием оператора