МУ и варианты ТР(1 часть) пределы,производные (Методичка и варианты типового расчета по матанализу 1 семестр)

45

Самостоятельная работа студентов – один из важнейших факторов успешного усвоения математики. Типовые расчеты (ТР) или индивидуальные семестровые домашние задания активизируют самостоятельную работу студентов и в сочетании с контрольными работами способствуют осуществлению текущего контроля работы студентов.

Каждый вариант индивидуального задания состоит из двух частей: основной и дополнительной.

Основная часть должна быть выполнена каждым студентом согласно методических указаний, приведенных в предлагаемой методической разработке. Студент должен решить все примеры и задачи из этой части и уметь объяснить ход решения.

Дополнительная часть рассчитана на хорошо успевающих по математике студентов. По этой части задания методические указания не даны, так как она ориентирована на самостоятельную работу студентов, которые при желании всегда смогут получить соответствующие консультации у ведущих преподавателей кафедры. Выполнение примеров и задач по этой части задания будут поощряться и учитываться при сдаче зачетов и экзаменов.

Выдача и контроль по выполнению индивидуального задания осуществляется преподавателем, проводящим практические занятия.

Индивидуальные задания выполняются по графику, устанавливаемому кафедрой высшей математики.

Задание представляется к защите в отдельной тетради или на сброшюрованных листах. К защите задания студент может быть допущен только после выполнения всего объема работ основной части задания. Защита задания проводится в письменной форме или в виде собеседования (по усмотрению преподавателя).

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ОСНОВНОЙ
ЧАСТИ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ.

1. Первым замечательным пределом называется предел

При решении этого примера функцию, стоящую под знаком предела, после применения соответствующих тригонометрических формул необходимо представить в виде произведения или частного нескольких функций, где обязательно нужно выделить функцию вида . Затем применяются теоремы о пределе произведения, частного и формула

где k - любое действительное число.

Если в исходном пределе , то необходимо предварительно перейти к новой переменной t = x - a, так что t  0.

Примеры:

1) Вычислить

Решение:

2) Вычислить

Решение:

1. При решении второго примера типового расчета необходимо использовать второй замечательный предел, который определяется формулами

или

и теорему о пределе композиции функций

где функция g(y)- непрерывна в точке y = a =

Тогда, если и , где a - любое действительное число, то

Примеры:

1) Вычислить .

Решение:

2) Вычислить , считая, что a- положительная постоянная величина, не равная 1.

Решение:

1. При нахождении производной в этом примере используются:

а) таблица производных;

б) основные правила нахождения производной:

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

в) правило дифференцирования сложной функции.

Если y = f(u) и u = φ(x) , т.е. y = f(φ(x)), то

y' = y_u' · u_x' = f '(u) · u_x' = f '(φ(x)) · φ' (x).

Если y = f(u) и u = φ(v) , где v = ψ(x), то

y' = f_u'(u) · φ_V'(v) ·v_x' = f_u'(φ(ψ(x))) · φ _v'(ψ(x)) · ψ' (x).

Примеры:

1) Найти производную функции .

Решение:

2) Найти производную функции .

Решение:

1. Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т.е.

При нахождении производной функции данного примера необходимо предварительно прологарифмировать левую и правую части исходного выражения, далее продифференцировать обе части по x, рассматривая левую часть как сложную функцию от x, а затем, из получившегося соотношения находится искомая производная.

Примеры:

1) Найти производную функции .

Решение: Прологарифмируем обе части данного выражения

Дифференцируем по x полученное соотношение

2) Найти производную функции .

Решение: Логарифмируем данную функцию и далее, дифференцируя обе части, получаем

При упрощении выражения мы воспользовались тем ln e = 1, а также свойством логарифмов. В результате

1. Если зависимость между x и y задана в неявной форме, то выражение, связывающее эти переменные величины необходимо продифференцировать по x, считая y функцией от x. Получившееся соотношение всегда является линейным уравнением относительно производной . Решая это уравнение, находим . Следует отметить, что производная от функции, заданной неявно, как правило, является функцией от переменной x и самой функции у.

Примеры: Найти производные следующих функций, заданных неявно

Решение: Для нахождения производной y'_x функции, заданной неявно, надо продифференцировать уравнение по x, считая y сложной функцией, зависящей от x, а затем решить получившееся уравнение относительно y'.

, Дифференцируя обе части уравнения, получим

или

, находим

Дифференцируем обе части уравнения по x:

Из полученного равенства, найдем

1. Если функция y аргумента x задана параметрически

где t – параметр, то

Чтобы найти вторую производную y''_xx дифференцируем по x уже найденную производную y'_x . Она так же выражается через параметр t, поэтому нужно еще раз применить правило для дифференцирования функции, заданной параметрически, к y'_x .

Примеры:

1) Найти производную функции .

Решение: Так как и, следовательно,

2) Найти y'_x и y''_xx функции

Решение: В данном случае зависимость y от x задана в параметрической форме. Находим первую производную

При определении второй производной поступаем так же, как при нахождении первой производной, т.е.

К этому же результату можно прийти, если вычислить по формуле:

1. Производной второго порядка или второй производной функции называется производная от ее производной, т.е. или

Производной n–ого порядка от функции называется производная от производной (n–1)–ого порядка, т.е. или .

Примеры:

1) Найти y'', если .

Решение: Сначала найдем

,

далее ищем

2) Найти , если .

Решение: Находим

Из найденных производных, нетрудно установить следующую закономерность для производной любого порядка n

, (n ≥ 2)

1. Для раскрытия неопределенностей вида или используются правила Лопиталя :

В случае необходимости правила Лопиталя можно применять и несколько раз.

и т.д.

Правила применимы и в случае, когда

Примеры: Вычислить пределы функций, используя правила Лопиталя:

1) , где а- положительна постоянная величина, не равная 1.

Решение: Здесь применимо правило Лопиталя к неопределенности вида

Решение: Неопределенность вида . Раскрываем ее также по правилу Лопиталя:

1. При полном исследовании функции и построении ее графика может быть предложена следующая схема:

1. Найти область определения функции и точки разрыва.

2. Проверить, является ли функция четной, нечетной, периодической.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат.

4. Найти асимптоты графика.

5. Вычислить первую производную функции. Найти экстремумы функции и промежутки ее возрастания и убывания.

6. Вычислить вторую производную функции. Найти точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости графика функции.

7. Нарисовать график функции.

При решении конкретной задачи отдельные этапы этой схемы могут быть расширены, другие же могут оказаться излишними или невыполнимыми.

Пример: Провести полное исследование и построить график функции

1. Функция определена во всех точках числовой оси, кроме точки x = 2. Таким образом .

Раз функция в точке x = 2 неопределенна, следовательно, эта точка является точкой разрыва. Вычислим односторонние пределы функции при x → 2 :

, так как, обозначая x = 2 – α или α = 2 – x, где α→0, получим

.

Аналогично получим

Таким образом, точка x = 2 является точкой разрыва 2 – ого рода.

1. Свойствами, перечисленными в данном пункте, функция не обладает.

2. Единственной точкой пересечения с осями координат является точка (0,0). Действительно при x = 0, получаем y = 0, и наоборот при y = 0, так как x ≠ 2, то следует, что и x = 0.

3. Ввиду того, что точка x = 2 есть точка разрыва 2 – ого рода, то прямая x = 2 является вертикальной асимптотой.

Найдем наклонные асимптоты вида y = kx+b, где коэффициенты k и b определяются формулами: