плоские сечения1 (Позиционные задачи. Плоские сечения поверхностей второго порядка)

Плоские сечения.

В рассматриваемых ниже примерах взаимного пересе­чения поверхностей одна из них является плоскостью. Учитывая, что плоскость можно всегда из общего положения преобразовать в частное и этим упростить решение, далее будем рассматривать случаи пересечения поверхностей только плоскостями частного положе­ния — проецирующими или уровня (при этом плоскость считается про­зрачной).

Пересечение гранной поверх­ности с плоскостью. Грани поверх­ности являются отсеками плоскостей, значит они будут пересекаться с за­данной плоскостью по прямым. В этом случае линией пересечения будет зам­кнутая или незамкнутая ломаная линия.

Для построения линии пересечения достаточно найти точки пересечения ребер поверхности с заданной пло­скостью — опорные точки и соединить (рис.1.) их с учетом видимости. Пример построения линии пересечения поверхности треугольной пирамиды с фронтально-проецирующей

плоскостью Ф' (Ф") приведен на рис.1. При таком задании точки пересечения ребер поверхности с плоскостью находят без дополнительных построений (см. рис.2).

Пересечение сферы с плоскостью. В этом случае линией пересечения будет окружность. Если плоскость занимает поло­жение плоскости уровня, то на параллельную плоскость проекций эта окружность сечения будет проецироваться без искажения, а на перпендикулярную плоскость проекций — в отрезок прямой, равный по длине диаметру окружности. На рис.4, а сфера пересекается горизонтальной плоскостью уровня Н (Н"). Окружность пересечения проецируется на горизонтальную плоскость проекций П' без искажения — в окружность п', а на пло­скость проекций П"—в от­резок прямой п" = Н".

Если секущая пло­скость занимает положе­ние проецирующей пло­скости, то на плоскость проекций, перпендикуляр­ную проецирующей пло­скости, окружность сече­ния будет проецироваться в отрезок прямой, равный по длине диаметру окруж­ности сечения (на рис.4, б—на П"), а на другую плоскость проек­ций — в эллипс, большая ось которого равна диаметру окружности сечения (на рис.4, б — на П'). Чтобы построить горизонтальную проекцию линии пересечения—эллипс п' (рис.4, б), следует найти проекции ряда точек этой линии, т. е. применить план решения задач на принадлежность. При этом вначале нужно найти опорные точки линии сече­ния, а затем промежуточные. Опорными будут точки, ограни­чивающие большую и малую оси эллипса — 3; 7 и 1; 5, и точки пересечения секущей плоскости Ф с экватором сферы — 2 и 8. Про­межуточные точки находят в ин­тервале между опорными, учиты­вая симметрию эллипса относительно его осей.

Пересечение цилиндриче­ской поверхности вращения с пло­скостью. В этом случае могут быть получены следующие линии (рис.5):

3

1. Окружность, если секущая плоскость перпендикулярна к оси

вращения — Ф  i. На чертеже Ф'`  i".

2. Эллипс, если секущая плоскость пересекает все образу­ющие поверхности, т. е. не параллельна и не перпендикулярна к оси вращения — Ф  все образующие. На чертеже: Ф  i".

3. Две образующие (прямые), если секущая плоскость парал­лельна образующим поверхности, т. е. и оси поверхности —Ф || ) об­разующим и

Ф || i . На чертеже: Ф || i .

При этом окружности и эллипсы будут проецироваться в пря­мые на плоскость проекций, параллельную оси поверхности, т. е. перпендикулярную к секущей плоскости (на рис.5 — на П"), а на плоскость проекций, перпендикулярную к оси поверхности, — в окружность, совпадающую с проекцией всей поверхности (на рис.5 —на П').

Пересечение конической поверхности вращения с пло­скостью. В этом случае могут быть получены следующие линия (рис.7):

1. Окружность, если секущая плоскость перпендикулярна к оси вращения —

Ф  i (на рис.7 линия 1).

2. Эллипс, если секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих поверхности, т. е. пересекает все образующие — Ф  все образующие (на рис. 7 линия 2).

3. Парабола, если секущая плоскость параллельна только одной образующей поверхности —Ф || одной образующей (на рис.7 линия 5).

4. Гипербола, если секущая плоскость параллельна двум образующим поверхности—Ф || двум образующим (на рис. 7 линия 4).

5. Две образующие (прямые), если секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности — S  Ф (на рис. 7 линия 5).

Из перечисленных пяти сечений окружность можно рассма­тривать как частный случай эллипса, а две образующие — как вырожденную гиперболу.

Если на комплексном чертеже ось конической поверхности вращения будет проецирующей прямой, то секущая плоскость будет проецирующей плоскостью и перечисленные линии будут проецироваться на плоскость проекций, перпендикулярную к се­кущей плоскости, в прямые (на рис.7 — на П"), а на плоскость проекций, перпендикулярную к оси вращения, соответственно, в окружность, эллипс, параболу, гиперболу и две прямые (на рис.7 —на П').

4