алгебра РК вар 2 (решённая)

Контрольная работа № 1.

Задача 1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Решение.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

Необходимо переменные x₃,x₄ принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные. При записи общего решения свободные переменные полагают равными . Тогда

Получим окончательный ответ:

Задача 2. Решить систему линейных уравнений:

а) методом Гаусса

б) по правилу Крамера

в) записать систему в матричной форме найти ее решение с помощью обратной матрицы

Решение.

а) методом Гаусса

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (13). Умножим 2-ую строку на (7). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

б) по правилу Крамера

Решим систему по правилу Крамера. Главный определитель системы

В этом случае система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам:

где △ – определитель системы, а – определитель, получающийся из определителя системы △ путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при , свободными членами (i=1,2,3).

Определитель системы нам известен, вычислим определители:

Отсюда

в) записать систему в матричной форме найти ее решение с помощью обратной матрицы

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

Вектор B:

B^T=(6,20,6)

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.

Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А^-1. Умножив обе части уравнения на А^-1, получим: А^-1*А*Х = А^-1*B, А^-1*А=Е.

Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^-1.

Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.

Найдем главный определитель.

∆=1•(3•(-5)-(-2•(-4)))-2•(-2•(-5)-(-2•3))+3•(-2•(-4)-3•3)=-58

Итак, определитель -58 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

Тогда:

где A_ij — алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)^i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:

Вычисляем алгебраические дополнения.

∆_1,1=(3•(-5)-(-4•(-2)))=-23

∆_1,2=-(-2•(-5)-3•(-2))=-16

∆_1,3=(-2•(-4)-3•3)=-1

∆_2,1=-(2•(-5)-(-4•3))=-2

∆_2,2=(1•(-5)-3•3)=-14

∆_2,3=-(1•(-4)-3•2)=10

∆_3,1=(2•(-2)-3•3)=-13

∆_3,2=-(1•(-2)-(-2•3))=-4

∆_3,3=(1•3-(-2•2))=7

Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C:

Вычислим обратную матрицу:

Вектор результатов X

X=A^-1 • B

Проверка.

1•8-2•4+3•2=6

2•8+3•4-4•2=20

3•8-2•4-5•2=6

Задача 3. Решить матричные уравнения где

Решение.

Сначала рассмотрим решение уравнения

Вычислим определитель матрицы А:

∆ = 5*1 - 2*3 = -1

Определитель матрицы А равен detA=-1

Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A^-1. Умножим слева обе части уравнения на A^-1: A^-1·A·X = A^-1·B, тогда получим E·X = A^-1·B, или X = A^-1·B.

Найдем обратную матрицу A^-1.

Транспонированная матрица A^T.

Алгебраические дополнения

A₁₁ = (-1)¹⁺¹·1 = 1; A₁₂ = (-1)¹⁺²·3 = -3; A₂₁ = (-1)²⁺¹·2 = -2; A₂₂ = (-1)²⁺²·5 = 5;

Обратная матрица A^-1.

Матрицу Х ищем по формуле: X = A^-1·B

Ответ:

Для решения уравнения , домножим его справа на обратную матрицу . Получим , т.е.

Задача 4. Найти собственные векторы и собственные числа матрицы

Решение.

Составляем систему для определения координат собственных векторов:

(-3 - λ)x₁ + 1x₂ = 0

-4x₁ + (2 - λ)x₂ = 0

Составляем характеристическое уравнение и решаем его.

Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.

((-3 - λ) • (2 - λ)-(-4 • 1)) = 0

После преобразований, получаем:

λ² + λ - 2 = 0

D = 1² - 4 • 1 • (-2) = 9

-4x₁ + 1y₁ = 0

-4x₁ + 1y₁ = 0

Собственный вектор, отвечающий числу λ₁ = 1 при x₁ = 1:

В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:

или

Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ₂ = -2, находим из системы:

-1x₁ + 1y₁ = 0

-4x₁ + 4y₁ = 0

или

Задача 5. Вычислить, используя формулу Муавра, и представить результат в алгебраической форме

Решение.

Представим комплексное число в тригонометрической форме

Поскольку x < 0, y ≥ 0, то arg(z) находим как:

Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z = -1+I

Формула Муавра

Представим данное число в алгебраической форме:

Задача 6. Найти все 4 корня уравнения. Изобразить эти корни на комплексной плоскости.

Решение.

Сделаем замену:

Итак, исходное уравнение распалось на два:

Решим первое уравнение:

Представим комплексное число в тригонометрической форме:

Поскольку x < 0, y < 0, то arg(z) находим как:

Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z = -1-I

Извлекаем корни по формуле:

k = 0

k = 1

Решим второе уравнение:

Представим комплексное число в тригонометрической форме:

Поскольку x < 0, y ≥ 0, то arg(z) находим как:

Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z = -1+I

Извлекаем корни по формуле:

k = 0

k = 1

Изображение корней на комплексной плоскости имеет вид:

Контрольная работа №2.

Задача 7. Даны координаы вершин пирамиды . Найти:

1) длину ребра

2) угол между ребрами

3) площадь грани

4) объем пирамиды

5) уравнение плоскости, совпадающей с гранью

6) канонические уравнения медианы треугольника , проведенной из точки

7) параметрические уравнения высоты, опущенной из точки на грань

8) угол между ребром и гранью

Решение.

Координаты векторов находим по формуле:

X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i; Z = z_j - z_i

здесь X,Y,Z координаты вектора; x_i, y_i, z_i - координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j - координаты точки А_j;

Например, для вектора A₁A₂

X = x₂ - x₁; Y = y₂ - y₁; Z = z₂ - z₁

X = 4-4; Y = 0-4; Z = 2-10

A₁A₂(0;-4;-8)

A₁A₃(-2;4;-6)

A₁A₄(5;2;-6)

1) длину ребра

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

2) угол между ребрами

Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле:

где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂

Найдем угол между ребрами A₁A₂(0;-4;-8) и A₁A₄(5;2;-6):

γ = arccos(0.555) = 56.312⁰

3) площадь грани

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:

Векторное произведение:

= i((-4) • (-6)-4 • (-8)) - j(0 • (-6)-(-2) • (-8)) + k(0 • 4-(-2) • (-4)) = 56i + 16j - 8k

4) объем пирамиды

Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен:

Находим определитель матрицы

∆ = 0 • (4 • (-6)-2 • (-6))-(-2) • ((-4) • (-6)-2 • (-8))+5 • ((-4) • (-6)-4 • (-8)) = 360

5) уравнение плоскости, совпадающей с гранью

Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости A₁A₂A₃

(x-4)((-4) • (-6)-4 • (-8)) - (y-4)(0 • (-6)-(-2) • (-8)) + (z-10)(0 • 4-(-2) • (-4)) = 56x + 16y - 8z-208 = 0

Упростим выражение: 7x + 2y - z-26 = 0

6) канонические уравнения медианы треугольника , проведенной из точки

Для получения канонических уравнений прямой необходимо иметь координаты направляющего вектора и точки, лежащей на прямой. В качестве направляющего вектора медианы треугольника , проведенной из точки , используем вектор

точка по условию принадлежит искомой прямой. Значит, канонические уравнения медианы имеют вид:

7) параметрические уравнения высоты, опущенной из точки на грань

Для получения параметрических уравнений прямой также необходимо иметь координаты направляющего вектора и точки, лежащей на прямой. В качестве направляющего вектора высоты, опущенной из точки на грань , используем нормаль к плоскости