ЛЕКЦИИ~3 (Лекции Кузьмина)

Доказательство: эти многочлены попарно взаимно простые Þ "НÎL(F) – однозначно представляется в виде: H=V₁+V₂+…+V_r; V_jÎL( , а для семейства L( - базис по теореме ­: соберём базисы всех V_j Þ последовательности - базис pL(F)

Ч.Т.Д.

Пример: F(x)=(x-1)²(x-3); GF(5);

пусть начальный вектор: (001); U(1999) - ?

Решение: L(x-1)², L(x-3) Þ

U(i)=c₀+c₁*i+D₀*3ⁱ; c₀,c₁,D₀ - ?

Начальный вектор: ;

U(1999)=1+2*1999-3¹⁹⁹⁹=1+2*9-3¹⁹⁹⁹=4-3¹⁹⁹⁹=4-2=2;

Ответ: U(1999)=2.

Представление ЛРП через функцию “след”.

Теорема: пусть РÎGF(q); f(x) – неприводим над Р, degf(x)=m Þ a - корень f(x) в Q=GF(q^m) Þ

" UÎpL(f), $! aÎQ:

Доказательство: 1. Покажем, что последовательность: ;

f(x)*V=W; Þ

VÎpL(f);

®А последовательностей вида V_i= число различных аÎQ=q^m;

® А последовательностей pL(f)=q^m – тоже.

Осталось показать, что все последовательности V_i - попарно различны:

пусть есть совпадающие последовательности:

пусть с_jÎP:

- более большое поле, чем Р.

Лемма: число решений этого уравнения: q^m-1;

Доказательство:

Þ " с – число решений исходного уравнения (число корней многочлена

1. пусть N_c – число корней

2. " xÎQ,

3. , а это при N_c=q^m-1; q^m-1¹q^m – противоречие;

Ч.Т.Д.

Теорема: обозначим последовательности V_s: базис

Доказательство:

;

то есть все последовательности . Осталось показать, что все V_i различны и их число =(q^m)^k:

1. ;

   Число сумм этих последовательностей – сколько наборов (а₀…а_k-1), а их (q^m)^k;

2. Осталось, что все попарно различные, а биномиальные последовательности базисные Þ не может быть совпадающих сумм, иначе это не базис Þ все суммы попарно различные Þ других последовательностей в L(f(x)^k), кроме вида V_i нет.

Пример: f(x)=x²+x+1; GF(2);

в GF(4) Q: Q²=Q+1;

U(i)=

Опредление1: UÎW^¥- периодическая последовательность если $ lÎN₀б, tÎN: " i³l:

U(i+t)=U(i); (1)

пусть W=R;

Утверждение: если W=R то " UÎW и U – периодической Þ U-ЛРП.

Определение2: если UÎW^¥ ,U – периодическая, то наименьшее tÎN, для которого $ lÎN₀ и выполняется (1) – период U; - T(U).

При этом наименьшее l: " i>l: U(i+T(U))=U(i) (3) – длина подхода U - L(U) (l предпериода).

Теорема1: если U периодическая и ÎW^¥, то любые числа l и t, удовлетворяют (1) Û l³L(U) и T(U)½t; (4)

Доказательство: пусть множество MÍW,½M½£L(U)+T(U);

Пусть Р – поле, ½Р½³½M½;

j: M®R - инъективное отображение: , так строим

lÎN₀,tÎN x^l(x^t-e) =(0); (5)

то есть (2) выполняется для когда - периодическая Þ x^L(U)(x^T(U)-e)* =(0) Þ

(4) Þ(5) x^{L (U)}(x^T(U)-e)½ x^l(x^t-e)Þ(5)

(5)Þ(4) (A(x), B(x))= x^l(x^t-e, x^T(U)-e); t³T(U);

x^t-e=x^t-T(x^T-e)+(x^t-T-e).

Примечание: (x,(x-e))=1;

(x^t-e;x^T-e)=(x^t-T-e,x^T-e); t+T£k;

x^l(x^d-e) =(0); d³T, d½T Þ d=T.

Следствие1: если U- периодическая, то L(U)- наименьший l>0, lÎN₀ для которого $ tÎN.

Теорема2: если U- периодическая последовательность над кольцом R, то " H(x)ÎR[x], V=H(x)*U – тоже периодическая, и

Доказательство: пусть L(U)ºl₀, T(U)ºT₀;

Ч.Т.Д.

Теорема3: пусть U,VÎR^¥- периодические Þ W=U+V и ;

1. L(U)¹ L(V) Þ L(W)=max{L(U), L(V)}; (10)

2. (T(U), T(V))=1 Þ T(W)=[T(U), T(V)];

Доказательство: 1) l=max{L(U), L(V)}; t=[T(U), T(V)];

x^l(x^t-e)U=(0)

x^l(x^t-e)V=(0) Þ x^l(x^t-e)W=(0)

1. пусть L(U)< L(V) Þ l=L(V) и пусть L(W)<l; x^l(x^t-e)U=(0) и x^l-1(x^t-e)(W-U)=(0)

   L(V)£l-1- противоречие Þ предположение ошибочно.

2. пусть (T(U),T(V))=1, T(W)=t тогда можно записать: [t,T(U)]=t*k Þ так как t½t*k, то T(U)½t*k Þ применяя Т1:

x^l(x^tk-e)W=(0)

x^l(x^tk-e)U=(0) Þ x^l(x^tk-e)V=(0) Þ T(V)½t*k.

Определение3: периодическая последовательность U над R^¥ -чисто периодическая если её предпериод =0 (L(U)=0).

Определение4: периодическая последовательность U над R – вырожденная, если она имеет вид:

U=(U(0), U(1), …, U(l-1), 0, 0, 0, …..).

Теорема4: любая периодическая последовательность UÎR^¥: U=U₀+U₁; (12)

, где U₀- вырожденная и U₁- чисто периодическая последовательность, при этом

Доказательство: 1) обозначим L(U)=l, T(U)=t Þ UÎL_R(x^l(x^t-e));

1. (x, x^t-e)=e Þ (x^l, x^t-e)=1;

L_R(x^l(x^t-e))= L_R(x^l)+ L_R(x^t-e) Þ разложение верно и единственно, U₀-выбирается из L_R(x^l)

U₁ выбирается из L_R(x^t-e);

Пример: U=( ) Z₄!

L(U)=5;

T(U)=4; U=U₀+U₁

Решение: kÎN; t*k³l;

x^tkU=x^tk(U₀+U₁)=x^tkU₁=U₁;

x^tkU₀=(0);

x⁸U=(031203120..);

U₀=U-U₁=(01101000..).

Определение5: многочлен F(x)ÎR[x] – периодический многочлен, если $ l₀ÎN₀, tÎN: F(x)½x^l(x^t-e) (15).

T(F)- период многочлена F(x);

Наименьшее l: F(x)½x^l(x^t-e)- обозначим через L(F)- предпериод многочлена.

Теорема5: a) пусть унитарный многочлен F(x)ÎR[x]; F- периодический Û ЛРП е^FÎ_RL(F);

e- (соот. ЛРП) тоже периодическая.

b) F- периодический многочлен Þ L(F)=L(е^F);T(F)=T(e);

" ЛРП UÎ_RL(F), L(U)£L(F); T(U)½T(F);

Доказательство: a) A_nn(е^F)=R[x]*F(x);

" lÎN₀, " tÎN: x^l(x^t-e)е^F=(0) Û F(x)½x^l(x^t-e);

b) UÎ_RL(F), F(x)*U=(0); F(x)½x^l(F)(x^T(F)-e); x^l(F)(x^T(F)-e)*U=(0);

Следствие1: если F(x)ÎR[x], то lÎN₀, tÎN: F(x)½x^l(x^t-e) Û l³L(F), T(F)½t;

Следствие2: если F(x), G(x)ÎR[x], (F(x), G(x))e, то H(x)=F(x)*G(x),

Лекция.

Определение1: UÎR^¥- периодическая, если $l³0, t>0: U(i+l+t)=U(i+l), i³0. (1)

Определение2: последовательность- чисто периодическая, если l=0.

Определение3: вырожденная последовательность- если у неё только конечное число 1-ых знаков отлично от 0.

Утверждение1: любая периодическая последовательность- ЛРП.

Доказательство: по определению1 $l,t: U(i+l+t)-U(i+l)=0; (x^t+l-x^l)U=0; x^l(x^t-1)U=0 Þ UÎpL(x^l(x^t-1);

Определение4: наименьшее натуральное t, для которого $ l: выполняется (1)- период последовательности: Т(U).

Утверждение2: если параметры l,t- удовлетворяют (1), то T(U)½t; L(U)£l;

Доказательство: 1) l=max(L(U), l); t=T(U)q+r, 0£r<T(U);

" i³0 U(i+l+t)=U(i+l); U(i+l+T(U)q+r), a U(i+L(U)+T(U))=U(i+L(U)) Þ U(i+l+r)=U(i+l) Þ r=T^/(U)<T(U), но по определению T(U) –наименьший Þ r=T^/(U)=0 (если r>0 то противоречие с выбором T(U)) Þ t=T(U)q; Û T(U)½t;

1. пусть L(U)> l Þ l£L(U)-1; (L(U)ºL);

U(i+L-1+T(U))=U(i+L-1), так как L-1+T(U)³L;i:=i+T(U)-1;

U(i+L-1+T(U)+(q-1)T(U))=U(i+L-1+T(U));

U(i+L-1+qT(U))=U(i+L-1+t)=U(i+L-1), то есть L- не наименьший – противоречие с выбором L Þ l³L(U)

Ч.Т.Д.

Утверждение3: если U- периодическая то для любого H(x)ÎP[x]; V=H(x)U- периодический.

Доказательство: H(x)x^l(x^t-1)U=0=x^l(x^t-1)(H(x)U)=0 Þ V(i+l+t)= V(i+l).

Ч.Т.Д.

Теорема1: пусть U,V- периодические Þ W=U+V- периодическая и T(W)½[T(U),T(V)]ºt; L(W)£max(L(U), L(V))ºL;

Доказательство: пусть max(L(U), L(V))ºL Þ W(i+L+t)=U(i+L+t)+V(i+L+t)=U(i+(L-L(U))+L(U)+T(U)t/T(U))+V(i+(L-L(V))+L(V)+T(V)t/T(V))=U(i+L)+V(i+L)=W(i+L); Þ последовательность периодическая, мы нашли $ t, L + утв.2.

Ч.Т.Д.

Следствие1: если (T(U),T(V))=1, то T(W)=T(V)*T(U);

Следствие2: если L(U)¹L(V), то L(W)=max(L(V), L(U))ºL;

Доказательство: 1) (T(U),T(V))=1 Þ [T(U),T(V)]=T(V)*T(U) Þ по Т1: T(W)½T(V)*T(U);