CONTIN (Лекции Кузьмина), страница 4
Описание файла
Файл "CONTIN" внутри архива находится в папке "Лекции Кузьмина". Документ из архива "Лекции Кузьмина", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "алгебра и геометрия (линейная алгебра)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "CONTIN"
Текст 4 страницы из документа "CONTIN"
"" a*(x) – примитивный ассоциативный с a(x) – приводим. a*(x)=b(x)c(x) над Z.
a*(x)=ua(x), uQ. a(x)= c(x) a(x) – приводим. ч.т.д.
Теорема: ] a(x)?0 с целыми коэффициентами, примитивный р – простой, из приводимости а(х) в кольце Z его приводимость по mod p;
a(x)=; ZZp, если akak(mod p).
Доказательство: a(x)=b(x)c(x) над Z a(x)= b(x)c(x) (mod p), а примитивность, чтобы имело смысл, т.е. a(x) не?0 (mod p)
Следствие: ] a(x) – многочлен над Z. Если р – простое : многочлен a(x) по (mod p) неприводим, то он неприводим над кольцом Z (т.е. отрицание формулировки теоремы).
Пример: x1998+2x700+12x19+1999x+2001 – неприводим, т.к. (x1998+x+1)(mod 2) неприводим по таблице.
Теорема(Признак Эйзенштейна):]a(x) с целыми коэффициентами:a(x)= ] р – простое : p2†a0,p|a1,…,p|an-1,p†an a(x) – неприводим над Z.
Доказательство: от противного : пусть а(х) – приводим, т.е. a(x)=b(x)c(x), т.к. p†an s : p†cs, t : p†bt. b(x)=, c(x)=, т.к. an=bmcl. Выберем min m, min l с таким свойством : s': p|c0,…,p|cs'-1,p†cs'; t': p|b0,…,p|bt'-1,p†bt'. as'+t'=b0cs'+t'+b1cs'+t'-1+…+bt'-1cs'+1+bt'cs'+bt'+1cs'-1+…+bs'+t'c0 as'+t'=bt'cs' (mod p) не=0 (mod p) s'+t'=n, т.к. только р†an s'=l, t'=m, т.к. an=bmcl.
b(x) : p|b0,p|b1,…,p|bm-1,p†bm; c(x) : p|c0,p|c1,…,p|cl-1,p†cl. a0=b0c0 p2|a0.
Следствие: Над полем Q неприводимые многочлены -ой степени (их -ое число).
Доказательство: По "признаку Эйзенштейна": xn-p, n1, p – простое- неприводимое, т.к. a0=p, a1=…=an-1=0, an=1, а -ое, т.к. множество р – бесконечно. ч.т.д.
Доказательство (свойства производной многочлена): a(x)=, a'(x)=.
1. (a(x)+b(x))'=a'(x)+b'(x). Доказательство: (a(x)+b(x))'===+. ч.т.д.
2 . (a(x)b(x))'=a(x)b'(x)+a'(x)b(x). Доказательство: (a(x)b(x))'====(). a(x)b'(x)+a'(x)b(x)=+= ] =(j+1)aj+1, т.к. ] i-1=j = == =={ ] t=k+1}==
=+={ ] k=i-t t=i-k}= + +=+= =
Задача: Обратный элемент в кольце многочленов: . -? a(x)-1(x+1)= 1 (mod (x3+x-1)) f(x)u+a(x)v=1;
=x2-x+2 с остатком –3. 1) x3+x-1=(x2-x+2)(x+1)-3 v1 - ?
v0=1, v1=-q1=-x2+x-2
Проверка: (-x2+x-2)(x+1)=-x3+x2-2x-x2+x-2=-x3-x-2
=-1 с остатком –3=2 в GF(5). f(x)u+a(x)v=-3.
(x2)-1 - ?
=x с остатком 11) x3+x-1=x.x2+x-1; =x+1 с ост. 1 2) (x+1)(x-1)+1 v2-? v0=1, v1=-q1=-x, v2=v0-q2v1=1+(x+1)x=x2+x+1x2= 1(mod(x3+x-1)) Проверка: (x2+x+1)x2=x4+x3+x2. =x+1 с остатком 1 (верно).
Задача: GF(3)[x], a(x)=(x4+x+2), b(x)=(x2-x-1). Представить их NOD в виде линейной комбинации.
Решение: =x2+x+2 с остатком 4x+4=x+1.
1) x4+x+2=(x2+x+2)(x2-x-1)+(x+1); 2) x2+x+1=(x-2)(x+1)+.
u0=0, u1=1, u2=u0-q2u1=0-(x-2)=2-x;
v0=1, v1=-q1=-(x2+x+2), v2=v0-q2v1=1+(x2+x+2)(x-2)=1+x3+x2+2x-2x2-2x-4=x3-x2-= =x3-x2
u(x)a(X)+v(x)b(x)=1
(2-x)(x4+x+2)+(x3-x)(x2-x-1)=1, 2x4-x5+2x-x2+4-2x+x5-x4-x4+x3-x3+x2=4=1 (mod 3). Верно.
Задача: Дан многочлен 15-ой степени над полем GF(3): a(x)=x15+2x9+x5+x+1. Могут ли быть у этого многочлена кратные корни?
Решение: 1. a'(x)=15x14+18x8+5x4+1=2x4+1
2. NOD(a(x),a'(x)) - ?
-
=0.5x11+0.5x7+x5+0.5x3 с остатком x3+x+1 (т.к. деление на 2 – это изменение знака).
-
=2x с остатком –2x2-2x+1=x2+x+1
Задача: x66+x38+x14+x2+1; GF(2). Есть ли кратные корни?
66x65+38x37+14x13+2x=a'(x)=0 NOD(a(x),a'(x))=a(x) ?, но если есть корни, то они кратные, а в GF(2)={0,1}, где 0 – не корень, 1 – не корень корней нет.
Задача: Являются ли многочлены над различными полями неприводимыми?
-
(x3+x+1) над GF(5). Многочлен deg<4 – неприводим, если нет корней
-
(x6+2x3+1) над GF(3). x0=-1 приводим. !Если NOD(ax,a'x)=ax, то делитель многочлена является кратным.
(x6+3x2+15) над полем Q[x]. Признак Эйзенштейна: р=3 неприводим.