LEC-21 (Материалы к лекциям)

13

В.А. Столярчук. “Моделирование систем”. Конспект лекций. Лекция №21

Лекция №21

9.2. Дискретизация области

9.2.1 Введение в проблему

Большинство методов численного расчета основаны на переходе от непрерывной задачи к дискретной, т.е. к такой задаче, в которой не находят функции распределения той или иной физической величины, а находят лишь значения этой величины в некотором конечном наборе точек. При этом пространство, параметры которого рассчитываются в задаче, разбивается на конечное число элементов, целиком заполняющих это пространство. Элементы, как правило, являются простыми фигурами и для них можно решить задачу. Для пространственной задачи элементы заключают в себе объем, например, таким элементом может быть тетраэдр. Для плоских задач, либо пространственных задач, но тем или иным способом сводящихся к плоским, используются различные плоские полигональные фигуры.

Проблема оптимального разбиения пространства задачи является подчас очень сложной. На каждый элемент разбиения могут накладываться довольно жесткие ограничения. К тому же, в пространстве задачи могут быть некие характерные области, где параметры меняются довольно резко. Например, в задачах механики твердого деформируемого тела, такие области образуются вблизи концентраторов напряжений и в них напряжения меняются чрезвычайно резко. Такие области требуют более частого разбиения.

В современных задачах подобного класса разбиение включает в себя огромное количество элементов, как правило, десятки и сотни тысяч. Создавать вручную такие разбиения не представляется возможным, поэтому в дополнение к основным расчетным алгоритмам должны быть созданы и алгоритмы генерации разбиения.

В методе конечных элементов дискретизация заключается в разделении области на группу подобластей (элементов) с соблюдением границ и переходов исходной области. При таком разделе­нии выявляется некоторое количество узлов (например, вершины треугольников первого порядка), для которых определяются степени свободы, используемые в уравнениях с конечными элементами. Любой дву- или трехмерный объект можно представить как совокупность простых линейных элементов (треугольника, четырехугольника, тетраэдpa, шестигранной призмы), а при необходимости и криволинейных элементов. Благодаря относительной легкости дискретизации на конеч­ные элементы, а также универсальности выполняемых при этом вы­числительных операций, метод конечных элементов получил широкое распространение в САПР.

Тип конечных элементов одновременно определяет их форму (сег­мент, треугольник, четырехугольник, тетраэдр, призма, шестигранник) и количество узлов (треугольники с 3 или 6 узлами). Ниже на рисунке показаны некоторые линейные, плоские и пространственные конечные элементы с их кодовым номером и локальной нумерацией узлов. Индексы области и границы служат для установления связи между элементами разбиения и физическими характеристиками областей и границ.

Некоторые формулировки метода конечных элементов требуют вы­числения интегралов на границах (например, тепловой поток, известный на границе). Такие интегралы определяются в пределах конечных эле­ментов границы. Иногда выражение подынтегральной функции зависит от внутренних процессов, происходящих в области (нормальная произ­водная переменной); в этом случае удобно иметь информацию о сосед­нем конечном элементе (предполагается, что разб

иение области и границы совместимо).

Для конечного элемента, расположен­ного на месте сопряжения, существуют два соседних конечных элемента области (для двумерного случая - один - справа, другой - слева от линей­ного элемента; для трехмерного случая - один - сверху, другой - снизу от плоского элемента). Для конечного элемента границы, расположенного на краю области, существует только один соседний элемент области.

Все эти данные, представленные в той или иной эквивалентной форме, необходимы при обработке с использованием метода конечных элементов. Однако они неудобны при кодировании вручную. Вот почему исторически развитию программного обеспечения метода конечных элементов предшествовало развитие методов дискретизации.

Дискретизация области соответствует представлению непрерывной среды в дискретной форме. Например, расчет тонких плит методом конечных элементов представляет из себя как раз такую задачу. В ней пространственная задача сводится к "псевдоплоской", разбиение производится в плоскости, а толщина является параметром каждого элемента. Для максимальной универсальности и упрощения алгоритма разумно выбрать треугольный конечный элемент — самый простой двумерный элемент. Поэтому сетка будет треугольной. На треугольники сетки накладываются два основных ограничения: треугольник не должен быть слишком вытянутым (skinny triangle), т.е. его минимальный угол ограничен сверху; площадь треугольника не должна превышать определенного значения, ввиду того, что значения неизвестной функции (для задач теории упругости, чаще всего – перемещения, для задач теплопроводности – температуры, для задач аэрогидродинамики - давления) находятся только в вершинах (иногда, и в центре тяжести треугольника) и есть шанс упустить максимальное перемещение (следовательно и напряжение) при достаточно больших элементах.

Таким образом, необходим алгоритм, разбивающий полигональную фигуру. При этом на эту фигуру должно накладываться минимум ограничений: не должно быть никаких ограничений, касающихся выпуклости; она может содержать отверстия, выделенные области (другие физ. характеристики, нагрузки и т.п.). Треугольники получаемой сетки должны удовлетворять двум перечисленным выше требованием. Желательно, чтобы алгоритм был адаптивным и требовал как можно меньшего участия человека.

Широкое применение МКЭ для исследования сложных объектов стимулировало создание программ автоматического построения сетки конечных элементов. Был разработан ряд алгоритмов - сеточных генераторов, предполагающих различную степень автоматизации при соответствующей доле ручного труда, связанного с формированием входных данных.

В настоящее время имеющиеся методы автоматического формирования треугольных сеток можно разделить на следующие группы:

- построение топологически регулярных треугольных сеток;

- построение нерегулярных сеток, основываясь на геометрии расчетной области;

- построение нерегулярных сеток, основываясь на математические критерии оптимальности сеток, применительно к задачам отдельных классов;

- построение нерегулярных сеток, используя интерактивную машинную границу и специальные алгоритмы.

Основными недостатками топологически нерегулярных сеток являются излишне большое количество узловых точек и конечных элементов, получаемых вследствие медленного перехода в плотности элементов.

Формирование нерегулярных сеток - задача на порядок сложнее, чем конструирование регулярных сеток. Часто нерегулярные сетки формируются, основываясь на экспертной оценке свойств поля, так как в настоящее время еще нет математически строгого обоснования критериев оптимальности сетки. Основными недостатками такого подхода являются:

- большая трудоемкость подготовки данных для алгоритмов;

- неравномерное распределение точности полученных результатов в различных частях расчетной области;

- большая погрешность или необходимость решения системы нелинейных уравнений в МКЭ при неверной экспертной оценке свойств поля.

Известны полностью автоматизированные методы, в которых алгоритм по установленным критериям формирует сетку, определяя зоны высокой и низкой плотности элементов.

Используются и более простые методы, требующие от пользователя определения топологических характеристик и координат сетки, где функция алгоритма заключается в выполнении вспомогательных операций контроля топологических связей, координат и обнаружения ошибок.

Эффективность сеточного генератора определяется количеством входных данных и возможностью полного удовлетворения следующих требований:

- наличием контроля плотности элементов (узлов сетки) в заданных районах области дискретизации (пользователь должен иметь возможность управлять плотностью элементов в любой части региона);

- приблизительно однородным характером распределения элементов по всей области (плотность элементов должна изменяться плавно в регионе и элементы должны быть по-возможности ближе к регулярным;

- упорядочением системы элементов, в результате чего достигаются хорошие вычислительные характеристики МКЭ;

- экономичностью алгоритма как в отношении машинного времени, так и трудозатрат, связанных с его эксплуатацией.

9.2.2. Оценка качества сетки конечных элементов

Целью МКЭ как приближенного метода решения дифференциальных уравнений является получение наиболее точного решения. Поэтому оценить качество сетки конечных элементов без сравнения результатов решения задачи с точным решением достаточно сложно.

Исходя из стремления получить наиболее достоверный результат, при построении сетки всегда стараются получить наилучшую сетку, которую называют оптимальной.

Чисто теоретически обшее понятие оптимальной сетки можно сформулировать таким образом:

Допустим, что в двухмерной области D декартовой системы координат x, y построена сетка, представленная объединением N конечных элементов определенного вида е₁, е₂, е₃, ... , е_N, причем D=Dе₁  Dе₂ ..... Dе_N.

Общее число узлов сетчатой модели равно К, а число ребер - L .

Сетку будем считать оптимальной, если для данной задачи без вырожденной топологии она позволяет достичь наименьшего среднего квадратичного отклонения, приближенного и точного U(x,y) решений по сравнению с любыми другими сетками, предполагающими одну и ту же степень дискретизации исходной области D.

Но отсутствие точного решения лишает исследователя использовать эту возможность.

Поэтому приходится искать способы оценки качества СКЭ по косвенным признакам, при этом не только после её построения, но и в процессе триангуляции. Последнее является самым эффективным.

Существуют различные косвенные способы оценки качества СКЭ и непрерывно разрабатываются новые.

Например, установлено, что ошибка метода КЭ при решении на треугольной сетке обратно пропорциональна величине синуса минимального угла в элементах сетки. Отсюда в качестве естественного критерия качества сетки можно принять синус минимального угла в КЭ сетки.

Но этот простейший критерий не затрагивает число КЭ, необходимость локального сгущения СКЭ и поэтому может использоваться только как вспомогательный.

Другой критерий основывается на теореме Делоне (алгоритм Делоне будет рассматриваться дальше), гласящий, что система КЭ будет оптимальной если она имеет наименьший периметр сторон (ребер) при заданном числе КЭ. Этот критерий позволяет формировать оптимальную сетку КЭ в процессе её построения и поэтому заслуживает пристального внимания.

Чтобы понять, насколько проблема определения качества сетки КЭ является сложной и неоднозначной, можно обратиться к ресурсу http://forum.dwg.ru/showthread.php?t=86844 , из которого частично заимствован нижеследующий материал.

Вообще, с точки зрения конечно-элементного анализа можно смело говорить о том, что оптимальным является разбиение на элементы имеющие форму простейших равносторонних фигур (равносторонний треугольник, квадрат, равносторонний тетраэдр, куб). Практически это требование достигается очень редко и получаемое разбиение на конечные элементы отлично от оптимального.

Для оценки качества полученного сеточного разбиения строятся различные измерители (см. табл. 2.4).

О

дним из таких измерителей является коэффициент формы, который вычисляется следующим образом. Для каждой стороны элемента Li определяется площадь идеального элемента такой величины (для равностороннего треугольника она равна 0,433(Li)^2, а для квадрата — (Li)^2), и затем эти площади осредняются.Отношение этой осредненной «идеализированной» площади к реальной площади элемента принимается в качестве меры качества.

Для четырехугольных элементов следует ограничить их стремление к «игольчатой форме», для чего используется такой измеритель, как вытянутость. Используются и другие измерители, данные о которых приведены в таблице 2.4, где также указаны рекомендуемые и оптимальные значения соответствующих мер качества.

В литературе встречаются такие рекомендации:  

• углы пластинчатых элементов должны быть не менее 30 и не более 150 градусов.  

• не рекомендуется использовать треугольные элементы в которых присутствует угол меньше 15 градусов.

• отношение же сторон КЭ не более 1:10.

Другие измерители по оценке формы КЭ можно разработать на основе отношения площади КЭ к площади, вписанной в него окружности или на основе отношения радиуса вписанной в треугольник окружности к радиусу описанной.

Известно, например, что для любого треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности ≥ 2. Причем равенство имеет место для правильного треугольника.

Можно использовать некоторые известные соотношения в треугольнике. Например, отношение площади треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС меньше или равно . При этом, равно – для равностороннего треугольника.

В литературе встречаются и рекомендации, связывающие размеры КЭ с толщиной КЭ и направленные на обеспечение достоверности результатов, получаемых методом конечных элементов, а именно: идеальное соотношение меньшей стороны к толщине должно находиться в пределах 1 – 30.