6Simulation systems Лекция 23 Выч.Эксп. (Материалы к лекциям), страница 7

Теперь найдем погрешности результатов сравнений:

И выберем .

1. Если наименьшим среди всех абсолютных значений окажется , то в ка­честве аналитической зависимости для данных точек будет служить ли­ней­ная функция вида у = Ах + В

2. Если наименьшей абсолютной ошибкой является , то в качестве эм­пирической зависимости следует выбрать показательную функцию у = АВ^x

3. В том случае, если наименьшая из абсолютных ошибок есть , то ис­ко­мая эмпирическая зависимость определяется дробно - рациональной фун­к­ци­ей вида у = (Ах + В) ^-1

4. Если наименьшая из абсолютных ошибок есть , то хорошим при­бли­же­нием будет служить логарифмическая функция

у=А^. ln(х) + В

1. Для случая, когда наименьшей абсолютной ошибкой окажется , то в ка­честве эмпирической зависимости рекомендуется выбрать смешанную фун­кцию у = Ах^B

2. Если наименьшей из абсолютных ошибок окажется , то за искомую зависимость следует выбрать гиперболическую функцию у = А + В/х

3. И, наконец, в том случае, если наименьшая из всех абсолютных оши­бок есть , то в качестве зависимости следует выбрать дробно - рациональную фун­кцию вида у = х/(Ах + В)

Для уточнения коэффициентов выбранной аналитической зависимости у = f(х, А, В) воспользуемся, как и в п.1, тремя методами.

Метод выбранных точек

На кривой, которую предварительно построим по множеству эксперимен­таль­ных точек, выберем две произвольные S₁ (х₁*, у₁*) и S₂ (х₂*, у₂*). Зная вид зависимости f(х,А,В), составим систему:

Разрешая которую относительно параметровА и В, находим их числовые зна­че­ния.

Метод средних

В эмпирическую формулу у = f(х, А, В) подставляем последовательно х_i и по­лучаем у_i , которые будут отклоняться от табличных на e_i= у_i– f(х_i, А, В). Со­гласно методу средних, надо определить такА и В, чтобы e = 0. Для этого вся совокупность значений разбивается на две группы так, чтобы алгебра­и­че­ская сумма уклонений в каждой группе равнялась нулю. Таким образом, для определения параметровА и В имеем:

Откуда получаем из совместного решения системы значение двух параметров А и В.

Метод наименьших квадратов

Согласно этому методуАи В должны бытьопределены так, чтобы выпол­ня­лось условие минимума функции:

В силу необходимого условия экстремума функции находим частные про­из­водные функции F по неизвестным коэффициентамА и В и приравниваем их к нулю, откуда получаем систему:

Из решения которой находимА и В.

Ниже в таблице 1 приводятся явный вид коэффициентовА и В для всех рас­сматриваемых здесь видов зависимостей.

Таблица 1

43