6Simulation systems Лекция 23 Выч.Эксп. (Материалы к лекциям), страница 6

Если случайные ошибки наблюдений подчиняются нормальному распределению, то отношения |X_j – x_jl│/s_j(j = 1, 2) распределены по закону Стьюдента. В частности, если результаты наблюдений лишены систематических ошибок, то x₁ = x₂ = 0 и, значит, закону Стьюдента должны подчиняться отношения |X₁|/s₁ и |X₂|/s₂. С помощью таблиц распределения Стьюдента с n – m = 8 степенями свободы можно убедиться, что если действительно x₁ = x₂ = 0, то с вероятностью 0,999 каждое из этих отношений не должно превосходить 5,04 и с вероятностью 0,95 не должно превосходить 2,31. В данном случае |X₁|/s₁ = 5,38 > 5,04, поэтому гипотезу отсутствия систематических ошибок целесообразно отвергнуть; в то же время следует признать, что гипотеза об отсутствии методической ошибки (x₂ = 0) не противоречит результатам наблюдений, так как |X₂|/s₂ = 1,004 < 2,31. Т. о., можно заключить, что для определения t по результату наблюдения Т целесообразно пользоваться приближённой формулой t = Т + 0,35.

Во многих практически важных случаях (и в частности, при оценке сложных нелинейных связей) количество неизвестных параметров бывает весьма большим и поэтому реализация Н. к. м. оказывается эффективной лишь при использовании современной вычислительной техники.

Применение регрессионного анализа для обработки результатов наблюдений или вычислений позволяет получить оценку влияния переменных, рассматриваемых в качестве аргументов (независимых переменных) на переменную, которая считается зависимой от первых.

Одной из составляющих 1-ой части курсовой работы 8-го семестра является освоение методов регрессионного анализа в процессе разработки математического описания исследуемого процесса или явления. Курсовая работа предусматривает обработку экспериментальных данных и поиск наиболее удовлетворительной гипотезы взаимосвязи между функцией и аргументами.

В качестве таких гипотез рассматриваются линейная и нелинейная регрессионные модели, каждая из которых может быть парной (только две переменных (функция и аргумент) или множественной (одна функция и несколько аргументов).

Относительно закона изменения независимых переменных x не делается никаких ограничений.

11.4.4. Линейная парная регрессия

Пусть, например, независимой {Y}. Положим переменную {X}. Тогда го­во­рят, что переменная Y связана с {X} некоторой зависимостью, которую без ог­ра­ничения общности можно представить: Y = F(Х), где F - некоторый не­из­вест­ный оператор, связывающий множество Хсо множеством Y. Для прос­то­ты можно считать преобразование взаимно однозначным, т.е. X = F(Y), хотя на практике это выполняется далеко не всегда.

Теперь математически задача сводится к построению явного вида опера­то­ра F и затем его уточнению. Методов решения указанной задачи сущес­тву­ет достаточно много. Рассмотрим методы линейного регрессионного анализа.

Одним из самых простых операторов F является линейный, определяющий линейную зависимость вида Y = АХ + В. Для начала положим В = 0 и определим связи между переменными Х и Y, вычислив параметр А.

Метод выбранных точек

Проведем прямую как можно ближе к нанесенным точкам (рис. 1) и вы­бе­рем на этой прямой про­из­воль­ную точку М(Х,Y).

Рис. 1. Множество экспери­мен­таль­ных точек {X} и {Y}, нанесенных на плоскость. М(X,Y) - выбранная точка для регрессии.

Тогда параметр А определится из отношения А=Y/X. Преимущество этого ме­тода перед всеми состоит в его наглядности. Но заметим, что значения А мо­гут колебаться довольно значительно, так как прямая строится про­из­воль­но и в выборе точек, через которые проводится прямая, нет однозначности.

Метод средних

Этот метод дает лучшие результаты по сравнению с методом выбранных то­чек. Если предположим, что зависимость построена, тогда y_i = aх_i даст при­бли­женные значения y_i. Определим параметр a из условия минимума средней ошибки: . Перепишем последнее выражение в виде: , откуда получаем выражение для .

Согласно этому методу, А и В ищутся такими, чтобы ал­гебраическая сумма всех уклонений от вычисленных значений была бы равна нулю:

Для определения А и В разобьем все данные на две группы так, чтобы сум­ма алгебраических уклонений каждой группы от среднего была бы рав­на нулю. Иными словами среднее для одной группы точек было бы равным (или не очень сильно отличалось) среднему другой группы точек. Тогда для каждой группы запишем:

Где – число элементов в I группе. Из последней системы найдем и :

Выполнив над последними выражениями элементарные алгебраические преобразования, получим окончательно выражения для коэффициентовА и В.

Метод наименьших квадратов

Этот метод дает еще более точные результаты по сравнению с двумя рас­смот­ренными выше. В этом методе параметр а определяется из условия ми­ни­мальной суммы квадратов отклонений табличных значений у_i от получен­ных . Условие минимума F, как известно, да­ет равенство нулю ее первой про­из­вод­ной, т.е. . Продифференцировав F по а, получим , откуда находим .

Каждый из приведенных выше методов является более точным (по поряд­ку возрастания). Поэтому рекомендуется сначала воспользоваться методом вы­б­ранных точек, а затем - одним из двух оставшихся (для уточнения па­ра­мет­ра а).

Пусть теперь В 0. Посмотрим, как изменятся методы. Общий вид зави­си­мости теперь Y_i = АХ_i + В.

Для уточнения параметровА и В воспользуемся тремя уже рассмотренны­ми ранее методами.

Согласно этому методу, ищем минимум функции . Используя условие экстремума функции , найдем:

От последней системы можно перейти к более простой, выполнив над ней эле­ментарные алгебраические преобразования:

Решая последнюю систему относительноА и В, получим:

Метод выбранных точек

Выберем на построенном графике две про­из­воль­ные точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂). Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой будет:

Откуда получаем:

Тогда выражения для параметровА и В можно определить явно как:

Контрольный пример

Для проверки и тестирования рассмотренных методов далее по данным экс­перимента (см. таблицу экспериментальных данных) строится линейная за­висимость для случаев 1) В = 0; А≠ 0; 2) А ≠ 0; В ≠ 0. Затем уточняются най­ден­ные А и В.

Таблица экспериментальных данных

Результаты вычислений с использованием приведенных выше процедур даются ниже:

МЕТОД СРЕДНИХ ПРИ В = 0: А= 0.78985.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ПРИ В=0: a=-0.08371.

Уточнение коэффициентов:

МЕТОД ВЫБРАННЫХ ТОЧЕК: a= -2.91832; b= 3.88663.

МЕТОД СРЕДНИХ: a= -1.41004; b= 3.08540.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ: a= -2.98023; b= 3.95859.

Анализируя полученные значения коэффициентов для разных методов, видим, что А=-2.95; В = 3.92. Для наглядности результатов можно построить график, что, впрочем, не обязательно.

11.4.5. Нелинейная парная регрессия

Выбор эмпирических формул для анализа нелинейных зависимостей

Теоретическая часть

Выше была рассмотрена линейная зависимость вида у=Ах+В для слу­ча­ев, когда А ≠ 0; В=0 и А ≠ 0, В ≠ 0. Но, к сожалению, построение этой за­ви­си­мос­ти не дает ответа на вопрос о том, какая аналитическая зависимость наилучшим об­разом подходит (описывает) имеющееся распределение. Наиболее по­пу­ляр­ные на практике эмпирические зависимости имеют вид:

1. линейная функция: у = Ах + В

2. показательная функция: у = АВ^х

3. дробно-рациональная функция: у = (Ах + В)^-1

4. логарифмическая функция: у = А^. ln(х) + В

5. смешанная функция: у = Ах^В

В зависимости от параметраВ она определяет параболическую зависимость (В>0), гиперболическую зависимость (В < 0) и линейную зависимость (В= 0);

1. гиперболическая функция: у = А + В/х

2. дробно-рациональная функция: у = х/(Ах + В)

Для того, чтобы выбрать теперь вид аналитической зависимости, которая на­илучшим образом соответствует исходным экспериментальным данным, по­ступим следующим образом. Выполним промежуточные вычисления. На об­­ласти определения независимой переменной (мы ранее условились, что это будет х_i) выберем две точки, достаточно надежные и по возможности как можно дальше отстоящие друг от друга. Обозначим их Х₁ и Х₂. Этим точ­кам соответствуют значения Y₁ и Y₂. Найдем теперь среднее арифметическое, сред­нее геометрическое и среднее гармоническое для выбранных точек:

Построим график, который, по нашему мнению, наилучшим образом будет со­­ответствовать имеющимся экспериментальным данным. И, зная , и найдем из графика приближенные , и . При построении графика можно использовать метод построения интерполяционной кривой по выбранным точкам (Дорот и др., 1977; Крылов и др., 1972; Троицкий, Иванова 1975) или методы п.1.