6Simulation systems Лекция 23 Выч.Эксп. (Материалы к лекциям), страница 2
Описание файла
Файл "6Simulation systems Лекция 23 Выч.Эксп." внутри архива находится в следующих папках: Материалы к лекциям, 6SimulationSystems. Документ из архива "Материалы к лекциям", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "системы моделирования" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "системы моделирования" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "6Simulation systems Лекция 23 Выч.Эксп."
Текст 2 страницы из документа "6Simulation systems Лекция 23 Выч.Эксп."
y0b0 (xn) + y1b1 (xn) +…… + ynbn(xn) = yn
Если значения bj(xi) выбраны так, что , то выписанные выше уравнения будут удовлетворены. Это условие означает, что любой многочлен bj(x) равен нулю при каждом xi, кроме xj. Следовательно, в общем случае многочлен bj(x) имеет вид:
Так как , то коэффициент , определяется выражением:
Наконец, для искомого многочлена получаем:
Введя обозначения:
Можем записать полученный многочлен в более компактном виде:
Метод разделенных разностей (1670 – 1711)
Существует множество разностных методов интерполяции, однако наиболее распространен метод Ньютона для интерполирования вперед, известный также как метод Ньютона — Грегори. Интерполяционный многочлен для этого метода имеет вид:
Коэффициенты находятся из уравнений , где i = 0, 1, … , n, позволяющих записать систему:
…………………………………………………
Это линейная система уравнений с треугольной матрицей, определение с ее помощью значений не вызывает затруднений, однако существует и еще более простой способ определения , основанный на применении правых конечных разностей. Если значения х заданы через равные промежутки , то в общем случае, .
Последнее выражение позволяет привести решаемые уравнения к виду:
…………………………………………………
Откуда для коэффициентов получаем:
Здесь называется первой правой разностью (в зарубежной литературе «разности вперед» - forwardfinitedifferences). Продолжая вычисления, находим:
Где – вторая правая разность, представляющая собой разность разностей. Коэффициент можно представить в виде:
В общем случае, разности более высоких порядков для функции y=f(x) в интервале определяются выражением: .
Часто их сводят в таблицы, подобные ниже приведенной:
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
| ||||||
|
|
| ||||
|
| |||||
|
|
|
| |||
|
|
| ||||
|
|
|
| |||
|
| |||||
|
|
| ||||
| ………… | ………… | ||||
|
| ………… | ………… | |||
………… | ………… | ………… | ||||
… | … | ………… | ………… |
Где разности порядка п выражены через разности порядка п – 1. Продемонстрируем применение метода интерполяции Ньютона на следующем примере.
Пример 1
Пусть имеется следующая таблица данных функции y = sin (x)
, (град) |
|
10 | 0,17365 |
20 | 0,34202 |
30 | 0,50000 |
40 | 0,64279 |
50 | 0,76604 |
60 | 0,86603 |
Требуется найти у при х = 23° методом разделенных разностей. С помощью, исходных данных составим таблицу разностей.
, (град) |
|
|
|
|
|
|
10 | 0,17365 | |||||
0,16837 | ||||||
20 | 0,34202 | -0,01039 | ||||
0,15798 | -0,00480 | |||||
30 | 0,50000 | -0,01519 | 0,00045 | |||
0,14219 | -0,00435 | 0,00018 | ||||
40 | 0,64279 | -0,01954 | 0,00063 | |||
0,12325 | -0,00372 | |||||
50 | 0,76604 | -0,02326 | ||||
0,09999 | ||||||
60 | 0,86603 |
За x0 можно принять любое xi , например, х=20°. Необходимые разности стоят на диагонали, идущей от x0 вниз. Число используемых разностей высших порядков может быть любым, но чем оно больше, тем выше точность. Одно из достоинств рассматриваемого метода состоит в том, что он позволяет уточнять результат, используя дополнительные разности, причем нет необходимости начинать вычисления сначала. Поэтому в случае, если неизвестно, сколько членов следует взять, их число можно увеличивать до тех пор, пока их вклад не станет пренебрежимо малым. В данном случае h=10°. Используя только первую разность, найдем:
Введя дополнительную вторую разность, получим:
Наконец, с помощью третьей разности найдем:
Совершенно очевидно, что это значение очень близко к точному, равному 0,39073. Используя другие разности, получим другие интерполяционные схемы, например метод Ньютона для интерполяции назад, пример реализации которого проводился в лекции 12 предыдущего семестра, методы Гаусса для интерполяции вперед и назад.
Итерационные методы интерполяции
Эти методы основаны на повторном применении простой интерполяционной схемы.
Наиболее известным из них является излагаемый ниже метод Эйткена, сущность которого в повторном применении линейной интерполяции.
Выше было показано, что линейная интерполяция между точками и осуществляется по формуле , с помощью которой, задав значение , можно составить таблицу функций , где . Пользуясь этими функциями, с помощью линейной интерполяции получим новое семейство соотношений. Простой подстановкой можно показать, что выражения для представляют собой многочлены второй степени, описывающие кривые, проходящие через точки , и . Продолжая этот процесс, будем получать значения , которые будут стремиться к значению . Хотя, в принципе, этот метод позволяет вводить многочлены степени n>3, обычно этого не делают, стремясь избежать роста ошибок. Следует, однако, отметить, что метод Эйткена не требует, чтобы используемые для интерполяции значения функции были расположены через равные интервалы. Применим метод Эйткена к предыдущему примеру.
Пусть требуется решить этот пример 1 методом Эйткена. Ниже приведена таблица результатов, полученных путем многократного применения линейной интерполяции при x =23°. Видно, что по мере выполнения вычислений значения у (23°) стремятся к истинному значению, равному 0,39073.
|
|
|
|
|
|
0 | 10 | 0,17365 | |||
1 | 20 | 0,34202 | 0,39253 | ||
2 | 30 | 0,50000 | 0,38578 | 0,39051 | |
3 | 40 | 0,64279 | 0,37694 | 0,39019 | 0,39073 |
4 | 50 | 0,76604 | 0,36618 | 0,38990 | 0,39072 |
5 | 60 | 0,86603 | 0,35367 | 0,38962 | 0,39072 |
Обратная интерполяция