5CAD-CAE-07-08 Проектир-ие ферм констр (Метариалы к лекциям), страница 4

Пропорционально найденным усилиям назначается новое распределение материала:

. Далее алгоритм повторяется.

Алгоритм обладает высоким быстродействием, для инженерных целей обычно достаточно 5 – 7 итераций, причем сходимость АРК практически не зависит от числа проектных переменных и степени статической неопределимости конструкции.

Учет устойчивости

При нагружении ферменной конструкции стержни могут работать, как на растяжение, так и на сжатие. При оптимизации фермы для стержней, работающих только на растяжение, не возникает особых затруднений, так как при их расчете вполне достаточно определить действующие в стержнях усилия и, зная допустимое напряжения, подсчитать необходимую площадь сечения.

При расчете стержней на сжатие приходится уже решать задачу устойчивости, для которой необходимо знать осевые моменты инерции поперечных сечений стержней.

Осевые моменты инерции прямоугольного сечения с горизонтальной стороной b и вертикальной стороной h вычисляются по формулам:

Для круга: Для кольцевого (трубчатого) сечения:

Как следует из формул моменты инерции можно подсчитать только при известной форме поперечного сечения стержней, что заставляет разработчика или изначально задаваться этой формой (например, трубчатое сечение) или использовать заниженное на какой-то коэффициент значение допускаемого напряжения безотносительно к форме поперечного сечения. Поэтому задачу по определению значения коэффициента приходится решать итерационным методом, что вносит дополнительные усложнения.

Итак, в процессе работы над проектом практически на каждом этапе производится расчет конструкции методом конечных элементов, в результате чего в каждом стержне определяются усилия N_i , напряжения , коэффициент запаса прочности и требуемые из условий прочности минимально необходимые значения площади поперечного сечения стержня . О последних двух характеристиках следует сказать более подробно.

Очевидно, что для того чтобы стержень не разрушился, напряжения должны быть меньше допусткаемых [σ], а коэффициент запаса прочности должен быть больше единицы. Но это справедливо только для растянутых стержней.

Для сжатых стержней всё несколько усложняется. Сжатый стержень может потерять устойчивость задолго до того, как будет достигнуто предельное значение напряжений [σ] для данного материала. Из этого следует, что

Поэтому, если для растянутых стержней условие прочности записывается как , то для сжатых стержней это условие прочности будет , где .

В свою очередь, значение критической силы потери устойчивости для сжатого стержня определяется уже приводимой формулой Эйлера: , где (напомним) J_i - минимальный момент инерции поперечного сечения i-го стержня, Е- модуль упругости материала, - длина i-го стержня. Здесь P_кр - максимальная сжимающая сила, которую может передавать стержень, не теряя устойчивости. Как видим, для сжатых стержней огромное значение имеет момент инерции, зависящий в свою очередь от форма поперечного сечения.

Поэтому сжатые стержни приходится делать не только с большей площадью поперечных сечений (нежели при том же значении растягивающей силы), но и с вполне определённым значением момента инерции этого сечения. Учет явления потери устойчивости - необходимая составляющая расчета большинства конструкций. В САПР «Ферма» реализована специальная инженерная методика как для определения необходимых площадей поперечных сечений сжатых стержней, так и моментов инерции этих сечений. В основу этой проектной методики положено уменьшение значения допускаемого напряжения для сжатых стержней, а именно , где φ- коэффициент продольного изгиба или коэффициент снижения основного допускаемого напряжения .

Коэффициент φ определяется по специальным таблицам в зависимости от принятого разработчиком коэффициента гибкости сжатых стержней. Коэффициент в дальнейшем всегда должен быть больше коэффициента минимально-возможной гибкости , который зависит только от физико-механических свойств материала и определяется по формуле (для стали и алюминия его можно взять равным 50).

Неравенство задает пределы правомерности формулы Эйлера.

После получения φ в каждом расчетном случае определяется необходимая из условий устойчивости площадь поперечного сечения сжатого стержня , затем минимальный радиус инерции и минимально допустимое значение момента инерции для данного стержня . Здесь - сжимающее усилие в стержне. Коэффициент запаса устойчивости определяется по формуле , где .

Следует только помнить, что увеличение приводит к уменьшению φ, а это, в свою очередь, - к увеличению , что отрицательно сказывается на уменьшении массы конструкции. Но зачастую на это приходится идти с целью уменьшения потребного момента инерции для данного стержня.

Напомним, что необходимая площадь сечения стержня из условия прочности на растяжение в каждом расчетном случае определяется по формуле , где – растягивающее усилие в стержне, а коэффициент запаса прочности на растяжение - по формуле , где .

Алгоритм оптимизации с учетом сжатия.

1. Задается коэффициент гибкости сжатых стержней. Этот

коэффициент в дальнейшем всегда должен быть больше коэффициента минимально-возможной гибкости, который зависит только от физико-механических свойств материала и определяется по формуле.

Коэффициент φ в зависимости от определяется по таблице

Для получения промежуточных результатов (например, при задании = 67) коэффициент φ получают интерполированием.

2. Определяется значение допускаемого напряжения при сжатии ;

3. Напоминаем, что в базовом алгоритме при заданных в результате расчета определяются в каждом расчетном случае.

В том же базовом алгоритме проверяется интегральный критерий прекращения итераций, зависящий от - заданной погрешности оптимизации.

Только теперь - через :

Здесь r – номер итерации, , где -

напряжение максимальное по модулю из всех расчетных случаев в стержне.

Как известно: . Поэтому, если в программе явным образом не вычисляются , их можно подсчитать как .

4. Если в каких-либо расчетных случаях стержень растянут (т.е. , или, что то же самое ), то определяется потребная площадь поперечного сечения при растяжении конкретного стержня F_раст= . Здесь – максимальное растягивающее усилие из всех растягивающих усилий, действующих на стержень во всех расчетных случаях в рассматриваемом стержне.

4. Если в каких-либо расчетных случаях стержень сжат (т.е. <0, или, что то же самое <0), то определяется потребная площадь поперечного сечения при сжатии конкретного стержня F_сж = ;

Здесь – максимальное (по модулю) сжимающее усилие из всех сжимающих усилий, действующих на стержень во всех расчетных случаях в рассматриваемом стержне.

5. Если F_раст ≥ F_сж , то новое = F_{раст .} Если F_сж >F_раст , то новое = F_сж и производится переход к п.3.

6.По достижении заданной точности в п. 3 в таблицу записываются получившиеся на последней итерации и подсчитываются остальные характеристики фермы. При этом, площади , получившиеся за счет сжатия (т.е., назначенные по условию = F_сж ), выделяются синим цветом.