Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Считается заданной некоторая проектная область , ограниченная линией (см. рис. 2.11.).

Внутри области и на ее границе могут располагаться два семейства линий и , где p = 1, 2,…,r; q = 1, 2,…,s.

На заданы статические условия (нагрузки), на – число случаев нагружения и количество кинематических условий соответственно.

Целью проектирования является определение таких очертаний конструкции, при которых она при заданном материале имеет минимальную массу и удовлетворяет ограничениям по прочности.

Впишем в проектную область однородную изотропную пластину постоянной толщины с некоторыми определенными механическими свойствами. Разобьем эту пластину сетью конечных элементов так, чтобы внутренние элементы не пересекали линий и , а стыковались между собой на этих линиях.

Тогда рассмотренную выше задачу можно сформулировать в терминах математического программирования, приняв в качестве проектных переменных совокупность координат узлов конечно-элементной модели за исключением узлов, расположенных на указанных линиях. Целевая функция остается прежней — это масса или объем материала конструкции. Ограничения на величины проектных переменных определяются условиями:

, а ограничения по прочности формулируются в виде ограничений на верхний уровень напряжений в КЭМ: , где – максимальное эквивалентное напряжение, выбранное из всех элементов модели, – допускаемое напряжение материала конструкции.

Подобная формулировка задач оптимизации позволяет искать ее решения с помощью методов нелинейного математического программирования. Однако большое количество проектных переменных и значительный объем вычислительных затрат для расчета напряжений при проверке ограничений чрезвычайно затрудняют использование этих универсальных алгоритмов оптимизации. Более приемлемые по вычислительным затратам алгоритмы оптимизации можно построить на основе таких известных свойств рациональных конструкций, как равнопрочность илиравнонапряженность. Принимая эти свойства в качестве критерия оптимальности, необходимо отметить следующее: Известно, что равнопрочные статически определимые конструкции при одном случае нагружения являются конструкциями минимального объема. При нескольких случаях нагружения равнопрочные конструкции могут и не быть конструкциями минимального объема. Однако в большинстве практических задач выравнивание напряжений приводит либо к конструкциям минимального объема, либо к конструкциям весьма близким к ним.

Выравнивание напряжений можно вести в ходе итерационного процесса, с определением напряженно - деформированного состояния КЭМ. После каждого расчета производится смещение узлов КЭМ в зону прохождения основных силовых потоков, т.е. в сторону более напряженных участков. Причем, внутри проектной области могут образовываться полости. Полученные после разрыва узлов, имеющих напряжения, близкие к нулевым значениям. Таким образом, в ходе итерационного процесса оптимизации выявляются очертания равнонапряженной конструкции.

На базе метода силового анализа реализуется следующий подход к выбору силовой схемы ферменной конструкции:

• в область, ограниченную внешними размерами проектируемой ферменной конструкции, вписывается некоторая континуальная (сплошная) модель, включающая в себя потенциально наибольшее число возможных силовых схем

• ищется оптимальное распределение материала в выбранной модели и находится, таким образом, теоретически оптимальная конструкция (ТОК)

• анализируются распределение толщин, а также генеральные пути передачи усилий в ТОК и с учетом конструктивных и технологических требований разрабатываются варианты силовых схем

3.3.3. Дополнительные критерии оценки эффективности силовых схем

Естественный критерий - вес конструкции, по которому традиционно оценивается силовая схема, обладает весьма серьезными недостатками. Не углубляясь в их перечисление, отметим основной из них, приобретающий особенно важное значение для нашей задачи. Начнем с того, что для расчёта придуманной ферменной конструкции необходимо задать какие-то значения площадей поперечных сечений стержней фермы. Очевидно, что первоначальные значения площадей не будут оптимальными и чтобы окончательно судить о достоинстве предложенной схемы необходимо проводить оптимизацию фермы, находя наиболее рациональное распределение материала (значения ). Таким образом, приходится не только разрабатывать силовую схему, но и находить наиболее оптимальное распределение материала в конструкции, т.е. проводить параметрическую оптимизацию, добиваясь минимума веса конструкции при данной силовой схеме.

Но существуют критерии, которые позволяют судить о достоинстве силовой схемы после однократного расчета, не прибегая к такому сложному и трудоемкому процессу, как оптимизация. Как уже говорилось в предыдущей главе, одним из таких критериев является силовой вес.

Силовой вес — это количественный показатель, характеризующий величины и протяженность действий усилий в конструкции. Для ферм силовой вес: , где n – число стержней фермы, – длина i– го стержня, – максимальное усилие в i – ом стержне из всех случаев нагружения.

Силовой вес слабо зависит от распределения материала в конструкции. Его величина определяется, в основном, выбранной силовой схемой. Это свойство веса позволяет использовать его в качестве критерия эффективности при сравнении различных силовых схем — для каждого варианта силовой схемы достаточно задать какое-либо произвольное распределение материала (например, принять площади поперечных сечений стержней фермы одинаковыми и равными 1.0), выполнить расчет напряженного состояния конструкции и вычислить силовой вес. Меньшая величина этого критерия и определит наиболее выгодный, с точки зрения массы конструкции, вариант силовой схемы.

Весьма важно также не только оценивать конкретные силовые схемы ферменных конструкций между собой, но и в сравнении с оптимумом - нижним пределом величины силового веса для заданных габаритов проектной области, величин нагрузок и расположения опор. Для этого сравнивается силовой вес разработанной конструкции и силовой вес теоретически оптимальной конструкции . Очевидно, что всегда выполняется условие .

Для получения силового веса ТОК в исходную проектную область вписывается, а затем рассчитывается континуальная модель, представляющая собой изотропную пластину постоянной толщины при заданных условиях нагружения и закрепления. Существенная особенность такой модели заключается в том, что она, в силу изотропии свойств, не предопределяет, как ферма, пути передачи усилий в проектной области.

Для получения силовой структуры конструкции в область, ограниченную внешними размерами проектируемой конструкции, также вписывается некоторая континуальная модель, включающая в себя потенциально наибольшее число возможных схем, после чего ищется оптимальное распределение материала в выбранной модели и находится таким образом теоретически оптимальная конструкция (ТОК).

Расчет силового веса теоретически оптимальной конструкции

Силовой вес – это количественный показатель, характеризующий величины и протяженность действия усилий в конструкции. При расчете силового веса ТОК проводится однократный расчет напряженно-деформированного состояния пластины, после которого подсчитывается силовой вес: , где – максимальное из всех случаев нагружения эквивалентное напряжение, подсчитанное по четвертой теории прочности (теории энергии формоизменения): .

Вычисленный таким образом силовой вес пластины с достаточной точностью (до 5–7%) дает прогноз величины силового веса ТОК и, следовательно, может служить нижним пределом, к которому необходимо стремиться при выборе структуры ферменной конструкции.

3.3.4. Расчет напряженно – деформированного состояния

Расчет напряженно-деформированного состояния заключается в определении перемещений точек элементов конструкции и значений напряжений, возникающих в элементах конструкции при нагружении. Для решения этой задачи в распоряжении проектировщика имеется множество методов, самые простые из которых рассматриваются в курсе «Сопротивление материалов». Но, как уже говорилось, в настоящее время метод конечных элементов является наиболее распространенным, что объясняется его достоинствами вычислительного характера. Поэтому использование его в практике проектирования ферменных конструкций является вполне естественным, тем более что этот же метод можно применять и при расчете пластин для определения напряженно-деформированного состояния и силового веса ТОК. Покажем простейшие варианты использования МКЭ для плоских ферм и пластин.

Расчет напряженно – деформированного состояния ферменной конструкции

Расчет напряженно – деформированного состояния ферменной конструкции по методу конечных элементов проводят следующим образом.

Для моделирования ферм используют линейный конечный элемент — прямой стержень с двумя узлами и постоянным поперечным сечением (рис. 2.12.).

Стержень работает на растяжение и сжатие и имеет по две степени свободы u и v в каждом узле. Под степенью свободы узла понимается перемещение узла относительно глобальной системы координат. Степени свободы узлов соответствуют неизвестным в матрице уравнений.

Размер матрицы разрешающих уравнений определяется количеством задействованных элементами узлов, умноженных на количество степеней свободы узлов; при этом из количества степеней свободы узлов вычитается число граничных условий.

Для ферменной конструкции узлы — это шарниры, соединяющие стержни конструкции, а сами стержни и есть конечные элементы.

Если мысленно выделить конечный элемент и попытаться перемещать его узлы относительно друг друга, то, очевидно, конечный элемент будет деформироваться и в нем возникнут напряжения. Так как деформация одного элемента не может не сопровождаться деформацией соседних элементов (перемещаемый узел принадлежит и соседним элементам), то при нагружении конструкции перемещения ее точек (узлов) вызовут изменение напряженного состояния во всех конечных элементах. Нагруженная конструкция, деформируясь, займет какое-то положение. Это положение соответствует условию (а, следовательно, уравнению) равновесия. Решение уравнения равновесия дает нам значения смещений (перемещений) узлов, а через них — напряжений в элементах.

Матрица жесткости стержневого КЭ: , гдеЕ – модуль упругости материала фермы, F – площадь поперечного сечения стержня, l – длина стержня, – матрица направляющих косинусов.

Для решения итоговой системы линейных алгебраических уравнений:

Характеристики

Список файлов лекций