KU=P, (гдеК — матрица жесткости; U — вектор узловых перемещений; P — вектор узловых нагрузок).

Как правило, применяется метод Холецкого, состоящий из трех этапов:

На первом этапе из равенства определяется треугольная матрица G.

На втором – решается первая вспомогательная система уравнений (прямой код) .

На третьем этапе решается вторая вспомогательная система (обратный ход) , из которой определяется искомый вектор U.

Расчет может учитывать, что часть стержней оказывается сжатой, а может производиться и без учета сжатия. Очевидно, что сжатый стержень может потерять устойчивость задолго до того, как будет достигнуто предельное значение напряжений[σ], которое может выдерживать материал конструкции, так называемое допускаемое напряжение. Поэтому сжатые стержни приходится делать с большей площадью поперечных сечений. При этом ещё огромное значение имеет форма поперечного сечения, так как от формы зависит момент инерции сечения, который входит весомой составляющей в формулу определения критической силы потери устойчивости для сжатого стержня: , где – минимальный момент инерции поперечного сечения стержня, – модуль упругости материала, l – длина стержня. Это – так называемая формула Эйлера для сжатого стержня с шарнирно – опертыми концами, впервые полученная академиком Петербургской академии наук Л. Эйлером в 1744г. Учет явления потери устойчивости необходимая составляющая расчета ферм.

Расчет напряженно – деформированного состояния пластины

Расчет напряженно-деформированного состояния пластины производят по методу конечных элементов.

Для моделирования пластин используют четырехугольный мембранный конечный элемент - прямоугольник постоянной толщины с четырьмя узлами (рис. 2.13.).

Конечный элемент работает на растяжение и сжатие по двум осям и имеет две степени свободы u и v в каждом узле. Под степенью свободы узла понимается перемещение узла относительно глобальной системы координат.

Степени свободы узлов соответствуют неизвестным в матрице уравнений. Размер матрицы уравнений, как и для фермы, определяется количеством задействованных элементами узлов, умноженных на количество степеней свободы узлов, при этом из количества степеней свободы узлов вычитается число граничных условий.

Если мысленно выделить конечный элемент и попытаться перемещать его узлы относительно друг друга, то, очевидно, конечный элемент будет деформироваться и в нем возникнут напряжения. Так как деформация одного элемента не может не сопровождаться деформацией соседних элементов (перемещаемый узел принадлежит и соседним элементам), то при нагружении конструкции перемещения ее точек (узлов) вызовут изменение напряженного состояния во всех конечных элементах. Нагруженная конструкция, деформируясь, займет какое-либо положение. Это положение соответствует условию (а, следовательно, уравнению) равновесия. Решение уравнения равновесия дает нам значения смещений (перемещений) узлов, а через них — напряжений в элементах.

Матрица жесткости четырехугольного мембранного КЭ определяется как сумма матриц жесткостей четырех треугольных КЭ, которые предварительно вычисляют по формуле , где i – номер треугольного КЭ, – площадь треугольника, – толщина пластины, – матрица упругих характеристик материала пластины:

, – матрица, связывающая узловые перемещения треугольного КЭ с его относительными деформациями, например:

;

и т.д.

После вычисления матриц жесткости треугольных КЭ находят матрицу жесткости всего четырехугольного мембранного КЭ:

, где, например, для первого треугольника.

Столбцы матрицы для всех четырех треугольников соответствуют перемещениям .

Строки для I-го треугольника соответствуют перемещениям , для II - го - , для III-го - , для IV-го - .

Для II – го треугольника ряд единиц займет положение, обозначенное точками, для III – го – звездочками, для IV – го – знаками “+”.

Для решения итоговой системы линейных алгебраических уравнений:

KU=P,гдеК — матрица жесткости; U — вектор узловых перемещений; P — вектор узловых нагрузок.

Также применяется метод Холецкого.

В результате расчета ферм и пластин методом конечных элементов определяются перемещения узлов конечных элементов, после чего вычисляются напряжения. Последние необходимы для реализации как метода силового анализа, так и процесса принятия решения по отбору наиболее приемлемых конструктивных решений.

3.3.5. Параметрическая оптимизация

Постановка задачи

Математическая формулировка задачи параметрической оптимизации фермы.

Проектные параметры.

Вектор проектных параметров , – площадь поперечного сечения i– го стержня.

Целевая функция.

Предполагается, что стержни фермы изготавливают из одного материала и, в качестве целевой функции, используют объем материала конструкции:

, где – длина i– го стержня.

Ограничения — геометрические и прочностные.

Геометрические:

На величины проектных параметров накладывают ограничения вида:

, где a и b — нижний и верхний пределы изменения проектных параметров.

Прочностные:

Прочностные ограничения имеют простую формулировку: , где – напряжение в i-ом стержне, а – допускаемое напряжение.

Математическая формулировка задачи параметрической оптимизации пластины.

Проектные параметры.

Вектор проектных параметров , где – толщина i – го конечного элемента.

Целевая функция.

Предполагается, что конечные элементы пластины изготавливают из одного материала и, в качестве целевой функции, используют объем материала конструкции: , где - площадь i-го конечного элемента.

Ограничения – геометрические и прочностные.

Геометрические:

На величины проектных параметров накладывают ограничения вида:

, где a и b — нижний и верхний пределы изменения проектных параметров.

Прочностные:

Прочностные ограничения имеют простую формулировку: , где – эквивалентное напряжение в i-ом КЭ, подсчитанное по четвертой теории прочности: , а – допускаемое напряжение.

Особенности оптимизации ферменной конструкции.

Хотя математическая постановка задачи и выглядит очень простой, данная задача относится к классу многомерных задач с нелинейными ограничениями, решение которой на практике оказывается весьма трудоёмким и затруднительным. Как было показано ранее, для расчета напряжений в стержнях необходимо решить систему уравнений. Особенности этой системы сильно затрудняют применение строгих методов численной оптимизации, в которых используется не явный учет «параллелепипедных» ограничений. Существует ряд методов, которые в принципе позволяют решать данную задачу, такие как: метод случайного поиска (Монте-Карло) или метод равнонапряжённых конструкций. Но оба эти метода обладают рядом недостатков. Метод Монте-Карло может быть достаточно эффективным в плане точности и принципиальной возможности нахождения оптимума, но для достижения приемлемого результата необходимо совершить чрезвычайно большое количество вычислений, что потребует значительных затрат времени и ресурсов. Метод поиска равнонапряжённых конструкций дает существенное ухудшение результатов при нескольких случаях нагружения.

Имея представление о математических методах многомерной условной оптимизации, далее рассмотрим инженерный алгоритма оптимизации - метод выравнивания напряжений.

Алгоритм отыскания равнонапряженных конструкций

Основная идея инженерного алгоритма отыскания равнонапряженных (равнопрочных) конструкций (АРК) — выравнивание напряжений во всех элементах конструкции в процессе итерационного пересчета распределения материала. Алгоритм работает по следующей схеме:

Назначается произвольное, обычно равномерное распределение материала:

, где — начальное значение площади поперечного сеченияi-го стержня фермы (для пластины - начальное значение толщины i-го конечного элемента), n — число стержней (для пластины - число конечных элементов).

Производится расчет напряженного состояния конструкции и определяются напряжения и усилия в стержнях (для пластины - в КЭ):

и , где i =1,2…n, j = 1,2,..m, m — число случаев нагружения (расчетных случаев), k - порядковый номер итерации алгоритма.

На каждой итерации в i-ом стержне ферменной конструкции (для пластины - в каждом КЭ) из всех случаев нагружения выбираются максимальные по модулю напряжения и усилия:

.

Вычисляются интегральные характеристики конструкции — силовой вес и максимальное по модулю напряжение, действующее в ферме (пластине):

,

Проверяется условие остановки: , где – заданная погрешность оптимизации. При выполнении неравенства оптимизация прекращается. (Это означает, что максимальное напряжение, действующее в конструкции на данной итерации, равно допускаемому напряжению с точностью , и дальнейшее перераспределение материала (уменьшение площадей поперечных сечений) не имеет смысла.) Если вышеуказанное неравенство не выполняется, то итерационный алгоритм продолжается.

Для пластины условие прекращения оптимизации имеет вид:

, где K – заданное максимальное число итераций. При выполнении неравенства оптимизация прекращается.