ma2-4savos1 (Лекции по рядам и интегралам Фурье), страница 2
Описание файла
Файл "ma2-4savos1" внутри архива находится в папке "Лекции по рядам и интегралам Фурье". Документ из архива "Лекции по рядам и интегралам Фурье", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "математический анализ (высшая математика)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "ma2-4savos1"
Текст 2 страницы из документа "ma2-4savos1"
1) График f(x).
Ч
тобы нарисовать график f(x) как нечетной функции, нарисуем сначала график на (0;2)È(2;3), а затем воспользуемся тем, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Из этих соображений получаем график f(x) на (-3;-2)È(-2;0). Затем продолжаем f(x) на всю числовую прямую как периодическую функцию с периодом T=6.
2) График S(x).
График S(x) отличается от графика f(x) в точках разрыва функции f(x). Например, в т. x=2 f(x) не определена, а S(x) имеет при x=2 значение, равное полусумме односторонних пределов функции f(x), именно: 
, где 
, 
.
3) 
.
Итак, 
, тогда разложение f(x) в ряд Фурье имеет вид: 
.
№4. Разложить в ряд Фурье по косинусам 
.
Решение. Заметим, что в ряд Фурье по косинусам раскладываются только четные функции. Т.к. f(x) задана только для x>0, xÎ(0;2)È(2;3], то это означает, что на симметричный промежуток [-3;-2)È(-2;0) f(x) нужно продолжить так, чтобы выполнялось равенство: f(-x)=f(x). Поэтому длина промежутка , на котором f(x) задана как четная функция, равна 6, тогда T=6, l=3. Ряд Фурье в этом случае имеет вид: 
, где 
; 
; n=1,2,... (по формулам (4')).
1) График f(x).
Чтобы нарисовать график f(x) как четной функции, нарисуем сначала график f(x) на (0;2)È(2;3], а затем воспользуемся тем, что график четной функции симметричен относительно оси ординат. Из этих соображений получаем график f(x) на [-3;-2)È(-2;0). Затем продолжаем f(x) на всю числовую прямую как периодическую функцию с периодом T=6.
Здесь график f(x) нарисован на двух полных периодах функции.
2) График S(x).
График S(x) отличается от графика f(x) в точках разрыва функции f(x). Например, в т. x=0 f(x) не определена, а S(x) имеет значение: 
, поэтому график S(x) не прерывается в т. x=0, в отличие от графика f(x).
3) 
; 
.
; 
Разложение f(x) в ряд Фурье по косинусам имеет вид: 
.
№5. Разложить в ряд Фурье f(x)=|x|, x(-2;2)..
Решение. По условию, f(x) является четной функцией на (-2;2); т.е. ее ряд Фурье содержит только косинусы, при этом T=4, l=2, 
, где 
; 
; n=1,2,...
-
Г
![]()
рафик f(x):
-
Г
![]()
рафик S(x):
-
![]()
, т.к. |x|=x для x>0. ![]()
![]()
![]()
; ![]()
.
Тогда разложение f(x) в ряд Фурье имеет вид: 
. Заметим, что при интегрировании выражений 
или 
применяется формула интегрирования по частям: 
, где u=x; dv=cos(ax)dx или dv=sin(ax)dx.
Комплексная форма ряда Фурье.
Пусть f(x) удовлетворяет условиям Дирихле на [-l;l] и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье: 
, где 
, 
, 
.
Используя формулы Эйлера 
, 
или 
; 
, представим одну гармонику 
в другом виде: = 
= 
во втором слагаемом избавимся от мнимой единицы в знаменателе, домножив и числитель, и знаменатель дроби на "i" 
= =
= 
; обозначим 
; 
. Учитывая формулы для ak и bk, имеем: 
;
.
Последние равенства в выражениях для ck и c-k получены с учетом формул Эйлера. Учитывая, что 
, можно записать ck и c-k одним выражением: 
, k=0,1, 2,... Заметим, что 
.
Используя новое выражение для гармоники, частичную сумму ряда Фурье для f(x) можно записать в виде: 
; а сам ряд Фурье, порождаемый f(x) имеет вид: 
. Он сходится к f(x), если существует 
. Так определенная сходимость называется сходимостью в смысле главного значения.
Итак, имеет место равенство: 
, где . Это равенство и есть разложение f(x) в ряд Фурье в комплексной форме.
Пример 1. Представить рядом Фурье в комплексной форме f(x)=ex, o x 2; T=2.
Р
ешение. Здесь T=2 l= и ряд Фурье имеет вид: 
, где 
.
1) График f(x):
2
) График S(x):
3) 
. Итак, 
, или 
, x[0;2).
Заметим, что при вычислении ck использовано свойство: 
, если f(x) – периодическая функция с периодом T=2.
Пример 2. Представить рядом Фурье в комплексной форме f(x)=2x, x(-1;1), T=2.
Решение. Здесь T=2, l=1 и ряд Фурье имеет вид: 
, где 
.
1
) График f(x):
2) График S(x):
3) 
;
. Итак, 
, или 
, x(-1;1).
