ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальные уравнения I-го порядка

Определение. Дифференциальным уравнением (ДУ) I-го порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производную .

(1)

или

(2)

Определение. Непрерывно дифференцируемая на интервале функция называется решением ДУ (1), если при подстановке и в уравнение (1), оно обращается в тождество для любого . Решение для уравнения (2) определяется аналогично.

(1)

или

(2)

Примеры.

1. .

2. . Проверим: .

3. . Проверим: .

4. . Проверим: , а , т.е. приходим к тождественному равенству.

Из примеров видно, что решение ДУ зависит от .

Определение. Решение ДУ вида называется общим решением, а решение вида называется частным решением ДУ при начальных условиях.

Определение. Задача нахождения частного решения ДУ при заданных начальных условиях называется Задачей Коши.

График решения называется интегральной кривой. Множество интегральных кривых, соответствующих общему решению образуют семейство интегральных кривых.

П римеры.

1. . Начальное условие . Тогда и находим частное решение поставленной задачи Коши.

2. общее решение. Начальное условие . Тогда и находим частное решение поставленной задачи Коши.

Замечание 1. Общее решение не всегда можно представить явно в форме: . Иногда общее решение можно найти в виде зависимости, которая связывает независимую переменную , искомое решение и в виде , т.е. неявно и называется общим интегралом ДУ.

Замечание 2. Не всякое дифференциальное уравнение может быть решено!

ТИПЫ И СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ I–ГО ПОРЯДКА

I. Дифференциальные уравнения I порядка с разделяющимися переменными

а) б) в)

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:

Решение: Разделяя переменные, имеем:

Интегрируем левую и правую части

Чтобы проинтегрировать полученное выражение, сделаем замены переменных:

.

Вернувшись к старым переменным, получим ответ к данной задаче в виде общего интеграла:

где произвольная постоянная.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение:

Решение: Исходное уравнение запишем в виде:

Разделяя переменные, имеем:

В итоге получаем ответ в виде общего интеграла: , где произвольная постоянная.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение:

Решение: Разделим обе части на . Получим .

Проинтегрируем обе части:

и получим ответ в виде общего интеграла ДУ .

II. Линейные дифференциальные уравнения I порядка

Определение. Уравнение вида называется линейным неоднородным ДУ первого порядка (ЛНДУ).

Определение. Уравнение вида называется линейным однородным ДУ первого порядка (ЛОДУ).

Линейное однородное дифференциальное уравнения (ЛОДУ) является ДУ с разделяющимися переменными. Его решение легко находится в самом общем виде:

.

Теперь рассмотрим решение ЛНДУ. Имеет место теорема.

Теорема. Общее решение ЛНДУ находится как сумма общего решения ЛОДУ и какого-либо частного решения ЛНДУ:

; (если легко находится).

В общем случае применяют метод вариации произвольной постоянной.

Метод вариации произвольной постоянной.

Возьмем решение ЛОДУ , и будем искать общее решение ЛНДУ в виде:

, где неизвестная функция.

Вычислим производную:

и подставим и в ЛНДУ

Из этого условия находим неизвестную функцию .

Пример 1. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения:

Решение: Запишем однородное уравнение, соответствующее заданному ЛНДУ:

Решая его как ДУ с разделяющимися переменными, получим:

Будем искать общее решение ЛНДУ в форме: , считая функцией от .

Дифференцируя, находим: Подставляем и в исходное уравнение:

, откуда

Следовательно, общее решение ЛНДУ имеет вид:

Пример 2. Найти решение уравнения:

Решение: Соответствующее однородное уравнение:

Решая его как ДУ с разделяющимися переменными, получим:

Будем искать общее решение ЛНДУ в форме: , считая функцией от .

Дифференцируя, находим: . Подставляем и в ЛНДУ :

откуда

Следовательно, общее решение ЛНДУ имеет вид:

Пример 3. Решить уравнение .

Решение: Соответствующее однородное уравнение: и сначала решаем его.

Разделяем переменные или .

В последней записи теперь считаем, что и ; вычислим .

Подставляя и в ЛНДУ, получим:

.

Отсюда общее решение ЛНДУ примет вид , или .

III. Дифференциальные уравнения I порядка в полных дифференциалах

Пусть дано уравнение .

Определение. Если левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции , то это уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

Из определения следует, что . Решением ДУ является общий интеграл .

Для определения вида ДУ служит следующая теорема.

Теорема: Если функции и , а также их частные производные непрерывны в односвязной области, и , то дифференциальная форма является полным дифференциалом.

Пример 1. Найти общий интеграл уравнения:

Решение: Это уравнение в полных дифференциалах, так как

; и, следовательно, уравнение имеет вид .

Здесь ; восстановим функцию по ее частным производным.

, где - функция, которая при дифференцировании по пропадает.

Дифференцируя полученное выражение по , и приравнивая к известной производной , найдем: ;

Отсюда ; . Окончательно получим: .

Отсюда получаем решение ДУ в форме общего интеграла

Пример 2. Найти общий интеграл уравнения:

Решение: Это уравнение в полных дифференциалах, так как

; и, следовательно, уравнение имеет вид .

Здесь ; восстановим функцию по ее частным производным.

, где - функция, которая при дифференцировании по пропадает.

Дифференцируя полученное выражение по , найдем

; отсюда . Окончательно получим .

Отсюда получаем решение ДУ в форме общего интеграла

Пример 3. Найти общий интеграл уравнения: ;

Решение: Проверим выполнение равенства . Так как мы имеем уравнение в полных дифференциалах, и надо восстановить по ее частным производным.

Найдем представление , используя частную производную :

.

Затем, дифференцируя полученное выражение по у, приравняем к известной частной производной :

.

Отсюда и общий интеграл ДУ имеет вид .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ n–ГО ПОРЯДКА

Определение. Уравнение, связывающее в виде

(1)

или

, (2)

называется дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Непрерывно дифференцируемая n раз функция называется решением ДУ n-го порядка, если подстановка в ДУ (1) или (2) обращает соответствующее уравнение в тождество.

ДУ n-го порядка обычно имеет бесконечное множество решений, записываемых в виде

и называемых общим решением. Частное решение ДУ, удовлетворяющее начальным условиям:

называется решением задачи Коши.

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ n–ГО ПОРЯДКА

Определение. Уравнение вида

, (3)

где и непрерывные на промежутке функции аргумента , называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) n-го порядка.

Определение. Если в уравнении (3) , то уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n-го порядка.

Линейный дифференциальный оператор

Определение. Обозначим левую часть линейного дифференциального уравнения и назовем линейным дифференциальным оператором n-го порядка.

Теорема. Свойства линейного дифференциального оператора

. .

. .

Следствие. Из свойств и , следует линейность оператора т.е.

Фундаментальная система решений

Определение. Система из линейно независимых (ЛНЗ) на промежутке решений для ЛОДУ n-го порядка называется фундаментальной системой решений (ФСР) этого уравнения.

Теорема. Пусть функции являются решениями ЛОДУ n-го порядка с непрерывными коэффициентами. Тогда для того, чтобы система была линейно независима на необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского

для любого .

Пример 1. Исследовать на линейную зависимость систему функций .

Решение: Составим определитель Вронского:

.

Следовательно, система функций - линейно независима.

Пример 2. Исследовать на линейную зависимость следующую систему функций:

Решение: Составим определитель Вронского:

Следовательно, система функций - линейно независима.

Пример 3. Исследовать на линейную зависимость систему функций .

Решение: Аналогично, для любого .

Следовательно, система функций - линейно независима.

Теорема. О структуре общего решения ЛОДУ. Пусть функции являются непрерывными на ЛНЗ решениями ЛОДУ n-го порядка . Тогда общее решение ДУ для любого представимо в виде

, где .

Определение. Уравнение вида