Лекция 10. Центр тяжести

На главную страницу.

10.1. Центр параллельных сил

Рассмотрим систему параллельных сил F₁, F₂,…, F_n, приложенных к твердому телу в точках A₁, A₂,…, A_n (рис.10.1). Эта система имеет равнодействующую R, направленную так же, как слагаемые силы, причем по модулю

Если теперь каждую из сил системы поворачивать около ее точки приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, то мы будем получать новые системы одинаково направленных параллельных сил с теми же модулями и точками приложения, но с другим общим направлением (пунктирные линии на рис.10.1).

Равнодействующая каждой из таких систем параллельных сил будет иметь тот же модуль R, но всякий раз другую линию действия.

Покажем, что при всех поворотах линия действия равнодействующей всегда проходит через одну и ту же точку С. В самом деле, сложив сначала силы F₁ и F₂, найдем, что их равнодействующая R₁ при любых поворотах сил будет проходить через точку C₁, лежащую на прямой A₁A₂, и удовлетворять равенству F₁ A₁C₁ = F₂ C₁A₂, так как при поворотах сил ни положение прямой A₁A₂, ни это равенство не меняется. Складывая теперь силу R₁ с силой F₃, мы получим, что их равнодействующая будет проходить через аналогично определяемую точку C₂, лежащую на прямой C₁A₃, и т.д. Доведя эту операцию последовательного сложения до конца, мы убедимся, что равнодействующая R всех сил действительно проходит всегда через одну и ту же точку С, положение которой по отношению к точкам A₁, A₂,…, A_n будет неизменным.

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Найдем координаты центра параллельных сил. Выберем оси координат Oxyz и обозначим координаты точек: А₁(х₁у₁z₁), А₂(х₂у₂z₂),…, А_n(х_nу_nz_n), C(х_Су_Сz_С). Повернем сначала силы так, чтобы они были параллельны оси Oz, и применим к силам F₁, F₂,…, F_n теорему Вариньона. Так как R' является равнодействующей этих сил, то, вычисляя моменты относительно оси Oy, получим

Отсюда находим (имеем в виду, что F_i' = F_i)

(10.1)

Для координаты у_С аналогичные формулы получим, вычисляя моменты относительно оси Ox. Чтобы определить z_С, повернем все силы, сделав их параллельными оси Oy. Применив к этим силам теорему Вариньона, вычислим моменты относительно оси Ox.

Окончательно получим следующие формулы для координат центра параллельных сил:

(10.2)

10.2. Центр тяжести твердого тела

Центром тяжести тела называют геометрическую точку, через которую проходит равнодействующая сила всех сил тяжести, действующих на частицы тела при любом его положении в пространстве. Она совпадает с центром системы параллельных сил, которую приближенно образуют силы тяжести его элементарных частиц (рис.10.2).

Радиус-вектор центра тяжести тела r_C вычислим по формуле

(10.3)

где r_i - радиус-вектор точки приложения силы тяжести элементарной части тела, принятой за точку; ΔP_i - сила тяжести элементарной частицы; P = ∑ΔP_i - сила тяжести всего тела.

Если в (10.3) перейти к пределу, увеличивая число элементарных частей n до бесконечности, то после замены суммы интегралом получим

(10.3')

В проекциях на оси координат из (10.3) и (10.3') получим

(10.4)

Для однородного твердого тела силу тяжести элементарной частицы тела можно вычислить по формуле

где γ - удельный вес тела; ΔV_i - объем элементарной частицы.

Сила тяжести всего тела

где V - объем тела.

Подставляя эти значения в уравнения (10.3) и (10.3'), после сокращения на γ получим формулы:

(10.5)

по которым определяют центр тяжести тела.

По аналогии для плоских тел, у которых один размер мал по сравнению с двумя другими, имеем

(10.6)

где ΔA_i - площадь элементарной частицы поверхности; A - площадь всей поверхности.

Для однородных тел типа проволоки, у которых два размера малы по сравнению с третьим, определим радиус-вектор центра тяжести по формулам

(10.7)

где Δ l_i - длина элемента линии; L - общая длина линии.

10.3. Методы определения центров тяжести

Метод симметрии. При определении центров тяжести широко используется симметрия тел. Для однородного тела, имеющего плоскость симметрии, центр тяжести находится в плоскости симметрии. Для однородного тела, имеющего ось или центр симметрии, центр тяжести находится соответственно на оси симметрии или в центре симметрии.

Метод разбиения на части. Некоторые тела сложной формы можно разбить на части, центры тяжести которых известны. В таких случаях центры тяжести сложных фигур вычисляются по общим формулам, определяющим центр тяжести, только вместо элементарных частиц тела берутся его конечные части, на которые оно разбито.

Пример 1. Определить координаты центра тяжести однородной пластины, показанной на рис.10.3. Все размеры показаны на рисунке в сантиметрах. Решение. Проводим оси координат и разбиваем пластину на три прямоугольника (линии разреза показаны пунктиром). Вычислим координаты центров тяжести каждого из прямоугольников и их площади: Площадь всей фигуры Тогда, согласно (10.6) Найденное положение центра тяжести совпадает с точкой С и показано на рис.10.3.

Метод отрицательных масс. Проиллюстрируем этот метод на плоской фигуре.

Пример 2. Определить положение центра тяжести круглой пластины радиусом R с вырезом радиуса r (рис.10.4). Расстояние С1С2 = а. Решение. Центр тяжести пластины лежит на линии С1С2 - на оси симметрии. Проводим оси координат, как показано на рис.10.4. Для нахождения координаты xC дополняем площадь пластины А1 до полного круга, затем вычитаем из полученной площади площадь вырезанного круга А2. Тогда Положение центра тяжести вычислим по формуле (10.2): Найденный центр тяжести лежит левее точки С1.

10.4. Центры тяжести простейших тел

Дуга окружности. Центр тяжести находится на оси симметрии дуги, которую примем за ось координат Оx (рис.10.5). Координату центра тяжести дуги АВ вычисляем по формуле (10.7):

(a)

Дуга окружности АB, равная L, определяется радиусом R и стягиваемым ее центральным углом 2α. В рассматриваемом случае

Подставляя эти значения в формулу (a), получим

Таким образом,

Центр тяжести полукруга. Центр тяжести полукруга радиуса R (рис.10.6) находится на оси симметрии, которую примем за ось Оy. Координату центра тяжести полукруга вычислим по формуле

В рассматриваемом случае

Перейдем в полярную систему координат. Имеем:

Подставляя эти значения в формулу для вычисления центра тяжести полукруга y_C, получим:

Таким образом,

10.5. Статические моменты и центр тяжести

Рассмотрим плоскую фигуру площадью А и ограниченную некоторой кривой (рис.10.7) в прямоугольной системе координат. Примем плотность тела ρ = 1, т.е. тогда масса любой части тела будет измеряться ее площадью. Это всегда подразумевается, когда говорят о статических моментах. Выделим в плоскости фигуры элемент площади dA с координатами x и y (рис.10.7) и определим статические моменты плоской фигуры, как взятые по всей площади А суммы произведений элементарных площадей dА на их расстояния x и y до осей Ox и Oy. Итак, статические моменты плоской фигуры определяются как

(10.8)

Статические моменты обычно выражаются в см ³ или м ³.

При параллельном переносе осей значения статических моментов не остаются постоянными, а изменяются и могут иметь как положительное, так и отрицательное значение. Следовательно существует ось, относительно которой статический момент равен нулю.

Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной.