rpd000003365 (161400 (24.05.05).С4 Робототехнические системы авиационного вооружения), страница 3

29.Особые точки (основные определения). Классификация особых точек по виду ряда Лорана в окрестности особой точки.

30.Теорема о поведении аналитической функции в окрестности устранимой особой точки.

31.Тоерема о поведении аналитической функции в окрестности полюса и существенно особой точки (с доказательством).

32.Теоремы о полюсах (с выводом).

33.Вычеты. Связь вычета с разложением функции в ряд Лорана в окрестности особой точки.

34.Теорема Коши о вычетах (с доказательством).

35.Вычет относительно простого полюса (с доказательством).

36.Вычет относительно кратного полюса (с доказательством).

37.Применение вычетов к вычислению несобственных интегралов (с доказательством).

38.Применение вычетов к вычислению несобствнных интегралов. Лемма Жордана.

39.Преобразование Лапласа. Определение оригинала. Интеграл Лапласа. Теорема о сходимости интеграла Лапласа и аналитичности изображения (с доказательством).

40.Свойства преобразованияЛапласа (линейности, подобия, запаздывания изображения) (с выводом).

41.Свойства преобразованияЛапласа (дифференцирования оригинала и изображения, запаздывания оригинала, интегрирования оригинала и изображения) (с выводом).

42.Обратное преобразование Лапласа. Лемма Жордана. Вторая теорема разложения (с доказательством).

43.Свёртка и её свойства.

44.Теорема об умножении изображения (с доказательством).

45.Интеграл Дюамеля (с доказательством).

46.Решение линейных дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами операторным методом.

1. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

а)основная литература:

1. М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. Лань, 2002, 749 с.

2. М.Л. Краснов, А.И. Киселёв, Г.И. Макаренко. Функции комплексного переменного. Задачи и примеры с подробными решениями. Серия "Вся высшая математика в задачах". УРСС, 2003, 208 с.

3. Г.Л. Лунц, Л.Э. Эльсгольц. Функции комплексного переменного. Лань, 2002., 304 с.

4. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М., Эдиториал УРСС, 2009. 424 с.

5. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Задачи и примеры с подробными решениями. М., Эдиториал УРСС, 2012. 208 с.

6. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Операционное исчисление. Теория устойчивости. Задачи и примеры с подробными решениями. М. Эдиториал УРСС, 2009. 176 с.

б)дополнительная литература:

1. Б.Л. Шабат. Введение в комплексный анализ 2-х томах. Лань, 2004, 336 с.

2. А.И. Маркушевич. Краткий курс теории аналитических функций. Мир, 2006, 423

3. А.Г. Свешников. Теория функций комплексного переменного. Физ.-мат. литература, 2001, 336 с.

4. М.И. Шабунин. Теория функций комплексного переменного., Юнимедиастайл, 2002, 248 с.

5. Пантелеев А.В., Якимова А.С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2007, 445 с.

6. Каменский Г.А. Лекции по теории функций комплексного переменного, операционному исчислению и теории разностных уравнений. М., Высшая школа, 2008, 156 с.

в)программное обеспечение, Интернет-ресурсы, электронные библиотечные системы:

1. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Для проведения лекций и практических занятий нужна доска с мелом (маркером).

Приложение 1
к рабочей программе дисциплины
«Теория функций комплексного переменного »

Аннотация рабочей программы

Дисциплина Теория функций комплексного переменного является частью Математического и естественно-научный цикл дисциплин подготовки студентов по направлению подготовки Интегрированные системы летательных аппаратов. Дисциплина реализуется на 8 факультете «Московского авиационного института (национального исследовательского университета)» кафедрой (кафедрами) 804.

Дисциплина нацелена на формирование следующих компетенций: НИК-2.

Содержание дисциплины охватывает круг вопросов, связанных с: основными понятиями теории функций комплексного переменного;

дифференцированием функций комплексного переменного;

интегрированием функций комплексного переменного;

разложением функций комплексного переменного в ряд Тейлора и ряд Лорана;

применением вычетов к вычислению несобственных интегралов функци действительного переменого;

основными понятиями операционного исчисления;

применением операционного исчисления к вычислению ДУ и систем ДУ с постоянными коэффициентами.

Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации учебного процесса: Лекция, мастер-класс, Практическое занятие.

Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: рубежный контроль в форме Контрольная работа и промежуточная аттестация в форме зачёт с оценкой (1 модуль) ,зачёт с оценкой (2 модуль).

Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 3 зачетных единиц, 108 часов. Программой дисциплины предусмотрены лекционные (24 часов), практические (28 часов), лабораторные (0 часов) занятия и (56 часов) самостоятельной работы студента. Дисциплина «Теория функций комплексного переменного» является частью математического и естественно-научного цикла дисциплин подготовки.Дисциплина реализуется на факультете №3 МАИ кафедрой 804.

Цели и задачи преподавания курса теории функций комплексного переменного;

- дать студентам знания по основам теории функций комплексного переменного и операционному исчислению;

- научить методам теории функций комплексного переменного решения математических задач;

- создать необходимый фундамент для изучения других дисциплин математического и естественно-научного и профессионального циклов, использующих теорию функций комплексного переменного.

Для усвоения курса необходимы знания по математическому анализу (дифференциальное и интегральное исчисление, ряды), по дифференциальным уравнениям(теория линейных дифференциальных уравнений и систем).

Приложение 2
к рабочей программе дисциплины
«Теория функций комплексного переменного »

Cодержание учебных занятий

1. Лекции

1.1.1. Комплексные числа(АЗ: 2, СРС: 0)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме и их свойства. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Показательная форма комплексного числаю. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа в комплексной форме. Свойства модуля и аргумента.

1.1.2. Последовательность комплексных чисел. Функции комплексного переменного. (АЗ: 2, СРС: 0)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Последовательность комплексных чисел. Конечный и бесконечный предел последовательности. Функции комплексного переменного

Метрика. Окрестность точки на комплексной плоскости. Предел последовательности. Бесконечно удалённая точка. Сфера Римана. Ряды с комплексными числами. Открытое, связанной, односвязное множество. Комплексная функция комплексного переменного и её вещественное представление. Предел и непрерывность. Критерий непрерывности.

1.1.3. Элементарные функции комплексного переменного и их свойства(АЗ: 2, СРС: 0)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Показательная функция, её периодичность. Формулы Эйлера. Теорема сложения для показательной функции.

Тригонометрические функции, их прериодичность. Теоремы сложения для тригонометрических функций. Гиперболические функции, их связь с показательной и тригонометрическими функциями. Теоремы сложения для гиперболических функций.

Логарифмическая функция, её многозначность. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции.

1.2.1. Производная функции комплексного переменного. Критерий Коши-Римана.(АЗ: 4, СРС: 0)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Дифференцируемость функции комплексного переменного. Критерий дифференцируемости функци вточке. Свойства комплексного дифференцирования функции. Геометрический смысл молдуля и аргумента производной. Аналитические функции. Гармонические функции и их связь с аналитическими.

1.3.1. Интеграл от функции комплексного переменного, его свойства и вычисление(АЗ: 2, СРС: 0)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Интеграл комплексной функции действительного переменного. Определение интеграла от комплексной функции комплексного переменного. Его свойства. Теорема существования и вычисления интеграла ФКП. Вычисление интеграла от ФКП через определённый интеграл комплексной функции действительного переменного.

1.3.2. Основные теоремы Коши для простого и сложного контура. Интегральная формула Коши. Первообразная и её свойства.(АЗ: 2, СРС: 0)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Основная теорема Коши для простого контура. Следствия. Основная теорема Коши для составного контура. Следствия. Интегральная формула Коши и её применение. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема об аналитичности интеграла с переменным верхним пределом. Первообразная и её свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема Морера. Производная n-го порядка для аналитической функции.

1.4.1. Функциональные ряды. Степенные ряды. Ряд Тейлора.(АЗ: 2, СРС: 0)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Равномерная сходимость функционального ряда. Свойства равномерно сходящихся рядов. Теорема Вейерштрасса об аналитичности суммы ряда с аналитическими функциями. Степенные ряды. Теорема Абеля. Аналитичность суммы степеного ряда. Ряд Тейлора. Теорема единственности разложения функции в ряд Тейлора. Оценка коэффициентов ряда Тейлора. Теорема Лиувилля и её следствия.

1.4.2. Нули аналитической функции. Ряд Лорана. Изолированные особые точки.(АЗ: 2, СРС: 0)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Нули аналитической функции и их порядок. Ряд Лорана. Теорема Лорана. Единственность разложения. Изолированные особые точки. Классификация особых точек. Поведение аналитической функции в окрестности изолированной особой точки. Определение порядка полюса. Ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки.

1.4.3. Вычеты. Применение вычетов к вычислению контурных интегралов функции комплексного переменного и несобственных интегралов функции действительного пер.(АЗ: 2, СРС: 0)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Определение вычета. Связь вычета с коэффициентами разложениея функци в ряд Лорана. Теоррема Коши о вычетах и её применение к вычислению контурных интегралов. Вычет относительно устранимой особой точки, существенной о.т., полюса. Вычет относительно бесконечно удалённой точки. Теорема о полной сумме вычетов. Применение вычетов к вычислению несобственных интегралов функций действительного переменного.

1.5.1. Преобразование Лапласа и его свойства. Свёртка.(АЗ: 2, СРС: 0)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Основные понятия операционного исчисления: оригинал и его изображение по Лапласу. Теоремы существовоания и аналитичности изображения. Свойства преобразований Лапласа (теоремы линейности, подобия, дифференцирования изображения и оригинала, смещения изображения, запаздывания оригинала, интегрирования изображения и оригинала). Свёртка оригинала и её свойства. Теорема об умножении изображений.

1.5.2. Теоремо обращения изображения. Применение операционного исчисления к решению ДУ и систем ДУ с постоянными коэффициентами.(АЗ: 2, СРС: 0)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс