rpd000004818 (230700 (09.03.03).Б9 Компьютерный дизайн), страница 6

Экзамен (2 семестр)

Семестр: 2

Вид контроля: Э

Вопросы:

1. 1. Функции многих переменных. Область определения функций многих переменных. Отображения. Открытые, замкнутые и связные множества и области в пространстве . Окрестности. Линии уровня и поверхности уровня.

2. 2. Предел функции многих переменных. Кратные и повторные пределы. Теорема о связи между кратными и повторными пределами.

3. 3. Непрерывность функции многих переменных в точке и области. Свойства непрерывных функций многих переменных.

4. 4. Частные производные и дифференциалы функций многих переменных. Дифференцируемость функции многих переменных.

5. 5. Дифференциал функции многих переменных Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Инвариантность формы первого дифференциала.

6. 6. Производная сложной функции многих переменных.

7. 7. Производные и дифференциалы высших порядков для функций многих переменных. Теорема о смешанных производных.

8. 8. Дифференциалы высших порядков для функций многих переменных. Инвариантность формы записи дифференциалов высших порядков.

9. 9. Формула Тейлора для функции многих переменных.

10. 10. Производная по заданному направлению. Градиент.

11. 11. Экстремум функций многих переменных. Необходимое условие существование экстремума.

12. 12. Экстремум функций многих переменных. Достаточное условие существование экстремума.

13. 13. Неявная функция. Теорема о существовании и единственности неявной функции.

14. 14. Условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа.

15. 15. Ряды. Частичные суммы ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Определение суммы ряда. Вычисление суммы ряда через предел последовательности частичных сумм.

16. 16. Свойства числовых рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Критерий Коши. Гармонический ряд.

17. 17. Сходимость знакоположительных рядов. 1-я, 2-я и 3-я теоремы сравнения.

18. 18. Признаки сходимости Коши, Даламбера для знакоположительных рядов.

19. 19. Интегральный признак, признак и Раабе и признак Гаусса сходимости числовых рядов. Сходимость обобщённого гармонического ряда

20. 20. Абсолютная и условная сходимость рядов. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

21. 21. Признаки сходимости Абеля и Дирихле для неположительных рядов.

22. 22. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная и неравномерная сходимости функциональных последовательностей и рядов.

23. 23. Функциональные ряды. Условие равномерной сходимости Больцано-Коши. Признак Вейерштрасса.

24. 24. Функциональные свойства суммы ряда. Теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном переходе к пределу.

25. 25. Функциональные свойства суммы ряда. Теоремы об интегрировании и дифференцировании рядов.

26. 26. Степенные ряды. Промежуток сходимости степенного ряда. Радиус сходимости степенного ряда. Теоремы Коши и Даламбера

27. 27. Разложение функций в степенные ряды. Разложения синуса, косинуса и экспоненты. Формула Эйлера

28. 28. Разложение функций в степенные ряды. Разложения логарифма и степенной функции. Геометрическая прогрессия.

29. 29. Разложение функций в степенные ряды. Разложения обратных тригонометрических функций.

30. 30. Определение тригонометрического ряда. Ряд Фурье. Достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье. Ряд Фурье для чётных и нечётных функций.

31. 31. Ряд Фурье для функций произвольного периода. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

32. 32. Ряд Фурье по ортогональной системе функций.

33. 33. Экстремальные свойства коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя.

34. 34. Равномерная сходимость рядов Фурье. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов Фурье.

35. 35. Равенство Парсеваля.

36. 36. Интеграл, зависящий от параметра. Непрерывность интеграла зависящего от параметра. Предельный переход под знаком интеграла.

37. 37. Дифференцирование под знаком интеграла. Правило Лейбница.Интегрирование под знаком интеграла.

38. 38. Равномерная сходимость несобственного интеграла 1-го рода, зависящего от параметра. Необходимые условия равномерной сходимости.

39. 39. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла 1-го рода, зависящего от параметра.

40. 40. Интегрирование и дифференцирование по параметру несобственного интеграла 1-го рода.

41. 41. Эйлеровы интегралы. Гамма-функция и её свойства

42. 42. Эйлеровы интегралы. Вета- функция и её свойства.

43. 43. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье и его свойства.

44. 44. Определение двойного интеграла. Условие существования двойного интеграла. Классы интегрируемых функций. Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов.

45. 45. Сведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной и криволинейной областей.

46. 46. Преобразование плоских областей. Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.

47. 47. Геометрические и физические приложения двойного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел и площади поверхности тел. Моменты инерции плоских фигур относительно координатных осей. Координаты центра тяжести плоской фигуры.

48. 48. Определение тройного интеграла. Условие существования тройного интеграла. Классы интегрируемых функций. Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов.

49. 49. Вычисление тройного интеграла для произвольных областей. Вычисление тройного интеграла распространенного на параллелепипед.

50. 50. Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам.

51. 51. Геометрические и физические приложения тройного интеграла. Объём тела. Масса тела. Моменты инерции фигур относительно координатных осей и координатных плоскостей. Координаты цента тяжести тела.

52. 52. Определение криволинейного интеграла первого типа и его свойства. Сведение криволинейного интеграла 1-го рода к обыкновенному определенному интегралу.

53. 53. Определение криволинейного интеграла 2-го рода и его свойства. Существование криволинейного интеграла 2-го рода и его вычисление.

54. 54. Интегралы по замкнутому контуру. Формула Остроградского-Грина. Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования.

55. 55. Определение поверхностного интеграла 1-го рода и его свойства. Сведение поверхностного интеграла 1-го рода к двойному интегралу.

56. 56. Определение поверхностного интеграла 2-го рода и его свойства. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода.

57. 57. Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского.

58. 58. Векторная функция скалярного аргумента. Предел, непрерывность и производная вектор-функции скалярного аргумента. Градиент.

59. 59. Векторное и скалярные поля. Поток векторного поля и потенциал вектора. Условие потенциальности векторного поля. Теорема Гаусса-Остроградского.

60. 60. Ротор векторного поля. Линейный интеграл и циркуляция вектора. Теорема Стокса. Условие потенциальности поля в терминах ротора векторного поля

61. 61. Дивергенция векторного поля. Соленоидальные поля.

62. 62. Символическая запись дифференциальных операций: градиент, ротор и дивергенция. Набла оператор. Оператор Лапласа.

Версия: AAAAAAS/Iv4 Код: 000004818