rpd000004610 (230400 (09.03.02).Б2 Конструирование и производство средств информационной и вычислительной техники), страница 3

Прикрепленные файлы:

Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:

1.Множества. Основные операции над множествами. Метрические и арифметические пространства.

2.Числовые множества и их свойства. Мощность числовых множеств. Множества на числовой прямой: отрезки, интервалы, полуоси, окрестности.

3.Определение ограниченного множества. Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Теоремы о верхней и нижней гранях числовых множеств.

4.Метод математической индукции. Неравенства Бернулли и Коши.

5.Определение функции. График функции. Чётные и нечётные функции. Периодические функции. Способы задания функции.

6.Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

7.Ограниченные последовательности. Теорема о достаточном условии расходимости последовательности.

8.Определение монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса о монотонной последовательности.

9.Число е.

10.Предел функции в точке по Коши и по Гёйне, их эквивалентность. Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы.

11.Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

12.Связь между пределами и бесконечно малыми функциями. Арифметические действия с пределами.

13.Теоремы об устойчивости неравенств. Переход к пределу в неравенствах. Теорема о трёх функциях.

14.Первый и второй замечательные пределы.

15.Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых. Теорема о замене бесконечно малых на эквивалентные. Основные эквивалентности.

16.Непрерывность функции в точке. Действия с непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций.

17.Классификация точек разрыва функции. Доопределение по непрерывности

18.Определение сложной функции. Предел сложной функции. Непрерывность сложной функции. Гиперболические функции

19.Непрерывность функции на отрезке. Теоремы Коши об обращении в нуль функции непрерывной на отрезке и о промежуточном значении функции.

20.Свойства функций непрерывных на отрезке. Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значении функции.

21.Определение монотонной функции. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной функции. Теорема о множестве значений функции монотонной и непрерывной на отрезке.

22.Обратная функция. График обратной функции. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.

23.Обратные тригонометрические и гиперболические функции.

24.Определение производной функции. Производные основных элементарных функций.

25.Определение дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции. Непрерывность дифференцируемой функции.

26.Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции.

27.Производная суммы, произведения и частного двух функций.

28.Производная сложной функции и обратной функции.

29.Логарифмическое дифференцирование. Производная функции заданной параметрически.

30.Главная часть приращения функции. Формула линеаризации функции. Геометрический смысл дифференциала.

31.Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала.

32.Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о свойствах дифференцируемых функций. Формула конечных приращений.

33.Применение производной к раскрытию неопределенностей в пределах. Правило Лопиталя.

34.Определение производной n-го порядка. Правила нахождения производной n-го порядка. Формула Лейбница. Дифференциалы высших порядков.

35.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Остаточные члены в форме Лагранжа и Коши.

36.Возрастание и убывание функций. Точки экстремума.

37.Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.

38.Бесконечные разрывы функций. Асимптоты.

39.Схема построения графика функции.

40.Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Эволюта и эвольвента.

41.Кривизна пространственной кривой. Годограф. Вектор кривизны. Формулы Френе. Соприкасающаяся плоскость и бинормаль.

42.Определение первообразной. Основные свойства первообразной. Простейшие правила интегрирования. Таблица простейших интегралов.

43.Интегрирование путем замены переменной и формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

44.Интегрирование выражений, содержащих произведение синуса или косинуса на экспоненту.

45.Рекуррентная формула для простейшей дроби, содержащей полный квадрат в знаменателе.

46.Неопределенный интеграл от рациональной функции. Интегрирование простейших дробей.

47.Неопределенный интеграл от рациональной функции. Разложение правильных дробей на простейшие.

48.Неопределенный интеграл от иррациональной функции, содержащей под знаком корня дробно-линейную функцию

49.Неопределенный интеграл от иррациональной функции, содержащей квадратный корень из квадратного трёхчлена . Подстановки Эйлера.

50.Неопределенный интеграл от иррациональной функции, содержащей квадратный корень из квадратного трёхчлена с помощью выделения полного квадрата и тригонометрических подстановок

51.Неопределенный интеграл от иррациональной функции, содержащей квадратный корень из квадратного трёхчлена с помощьюметода неопределённых коэффициентов

52.Неопределенный интеграл от иррациональной функции. Интегрирование биномиальных дифференциалов.

53.Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка.

54.Интегрирование рациональных тригонометрических выражений в случае, когда подынтегральная функция нечетна относительно синуса (или косинуса) или четна относительно синуса и косинуса и .

55.Интегрирование выражений, содержащих произведения синусов и косинусов

56.Интегрирование выражений содержащих степени тангенса или котангенса

57.Определенный интеграл. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Интегральные суммы. Суммы Дарбу. Теорема об условии существования определенного интеграла. Классы интегрируемых функций.

58.Свойства определенного интеграла. Теоремы о среднем значении

59.Определенный интеграл, как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.

60.Формула замены переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

61.Приложение интегрального исчисления к геометрии. Объем фигуры. Объем фигур вращения.

62.Приложение интегрального исчисления к геометрии. Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейного сектора. Длина кривой.

63.Определение несобственного интеграла I рода. Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов I рода. Простейшие свойства.

64.Сходимость несобственных интегралов I рода для положительной функции. 1-я и 2-я теоремы сравнения.

65.Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов I рода от знакопеременной функции. Признаки сходимости Абеля и Дирихле.

66.Определение несобственного интеграла II рода. Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов II рода.

67.Связь несобственных интегралов 1-го и 2-го рода. Несобственные интегралы в смысле главного значения.

2. Экзамен (2 семестр)

Прикрепленные файлы:

Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:

1.Функции многих переменных. Область определения функций многих переменных. Отображения. Открытые, замкнутые и связные множества и области в пространстве . Окрестности. Линии уровня и поверхности уровня.

2.Предел функции многих переменных. Кратные и повторные пределы. Теорема о связи между кратными и повторными пределами.

3.Непрерывность функции многих переменных в точке и области. Свойства непрерывных функций многих переменных.

4.Частные производные и дифференциалы функций многих переменных. Дифференцируемость функции многих переменных.

5.Дифференциал функции многих переменных Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Инвариантность формы первого дифференциала.

6.Производная сложной функции многих переменных.

7.Производные и дифференциалы высших порядков для функций многих переменных. Теорема о смешанных производных.

8.Дифференциалы высших порядков для функций многих переменных. Инвариантность формы записи дифференциалов высших порядков.

9.Формула Тейлора для функции многих переменных.

10.Производная по заданному направлению. Градиент.

11.Экстремум функций многих переменных. Необходимое условие существование экстремума.

12.Экстремум функций многих переменных. Достаточное условие существование экстремума.

13.Неявная функция. Теорема о существовании и единственности неявной функции.

14.Условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа.

15.Ряды. Частичные суммы ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Определение суммы ряда. Вычисление суммы ряда через предел последовательности частичных сумм.

16.Свойства числовых рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Критерий Коши. Гармонический ряд.

17.Сходимость знакоположительных рядов. 1-я, 2-я и 3-я теоремы сравнения.

18.Признаки сходимости Коши, Даламбера для знакоположительных рядов.

19.Интегральный признак, признак и Раабе и признак Гаусса сходимости числовых рядов. Сходимость обобщённого гармонического ряда

20.Абсолютная и условная сходимость рядов. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

21.Признаки сходимости Абеля и Дирихле для неположительных рядов.

22.Функциональные последовательности и ряды. Равномерная и неравномерная сходимости функциональных последовательностей и рядов.

23.Функциональные ряды. Условие равномерной сходимости Больцано-Коши. Признак Вейерштрасса.

24.Функциональные свойства суммы ряда. Теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном переходе к пределу.

25.Функциональные свойства суммы ряда. Теоремы об интегрировании и дифференцировании рядов.

26.Степенные ряды. Промежуток сходимости степенного ряда. Радиус сходимости степенного ряда. Теоремы Коши и Даламбера

27.Разложение функций в степенные ряды. Разложения синуса, косинуса и экспоненты. Формула Эйлера

28.Разложение функций в степенные ряды. Разложения логарифма и степенной функции. Геометрическая прогрессия.

29.Разложение функций в степенные ряды. Разложения обратных тригонометрических функций.

30.Определение тригонометрического ряда. Ряд Фурье. Достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье. Ряд Фурье для чётных и нечётных функций.

31.Ряд Фурье для функций произвольного периода. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

32.Ряд Фурье по ортогональной системе функций.

33.Экстремальные свойства коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя.

34.Равномерная сходимость рядов Фурье. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов Фурье.

35.Равенство Парсеваля.

36.Интеграл, зависящий от параметра. Непрерывность интеграла зависящего от параметра. Предельный переход под знаком интеграла.

37.Дифференцирование под знаком интеграла. Правило Лейбница.Интегрирование под знаком интеграла.

38.Равномерная сходимость несобственного интеграла 1-го рода, зависящего от параметра. Необходимые условия равномерной сходимости.

39.Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла 1-го рода, зависящего от параметра.

40.Интегрирование и дифференцирование по параметру несобственного интеграла 1-го рода.

41.Эйлеровы интегралы. Гамма-функция и её свойства

42.Эйлеровы интегралы. Вета- функция и её свойства.

43.Интеграл Фурье. Преобразование Фурье и его свойства.

44.Определение двойного интеграла. Условие существования двойного интеграла. Классы интегрируемых функций. Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов.

45.Сведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной и криволинейной областей.

46.Преобразование плоских областей. Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.

47.Геометрические и физические приложения двойного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел и площади поверхности тел. Моменты инерции плоских фигур относительно координатных осей. Координаты центра тяжести плоской фигуры.

48.Определение тройного интеграла. Условие существования тройного интеграла. Классы интегрируемых функций. Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов.

49.Вычисление тройного интеграла для произвольных областей. Вычисление тройного интеграла распространенного на параллелепипед.

50.Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам.

51.Геометрические и физические приложения тройного интеграла. Объём тела. Масса тела. Моменты инерции фигур относительно координатных осей и координатных плоскостей. Координаты цента тяжести тела.