Конспект 4-3 (Конспект лекций)

Т
огда точки плоскости X = 0 разбиваются на три класса:

• точки Z > 0, которые имеют 2 прообраза на поверхности,

• точки на оси Oy, которые имеют 1 прообраз на поверхности,

• точки, у которых нет прообразов на поверхности.

Такая особенность проецирования (или вид поверхности) называется складкой.

3. Поверхность, заданная уравнением

Z = X³ + XY или X³ + XY- Z = 0 (см. рис. 45)

Нормальный вектор

N = ( 3 X² + Y, X, -1 )

скалярное произведение

( N, L ) = 3X² + Y.

Исходя из уравнения

3 X² + Y = 0

находим на поверхности кривую, вдоль которой вектора N и L ортогональны. Это полукубическая парабола

27 Z² = - 4Y³,

которая на плоскости X = 0 делит точки на три класса:

• точки, имеющие 1 прообраз на поверхности,

• точки на параболе, которые имеют 2 прообраза на поверхности,

• точки внутри острия, имеющие 3 прообраза на поверхности.

Эта особенность проецирования называется сборкой.

Существует теория особенностей (теория катастроф), которая доказывает, что при проецировании на плоскость произвольного гладкого объекта (т.е. поверхности) возможны только 3 указанных типа проекции (обыкновенная, складка или сборка) с точностью до малого шевеления.

Это значит, что более сложные особенности оказываются неустойчивыми и при малых изменениях направления проецирования либо взаимного расположения поверхности и картинной плоскости эти особенности переходят в более простые.

Алгоритмы компьютерной графики

РАСТРОВЫЕ АЛГОРИТМЫ

Большинство графических устройств является растровыми, т.е. представляют изображение в виде матрицы пикселей (или растра), поэтому большинство графических библиотек содержит набор растровых алгоритмов.

Рассмотрим графическую библиотеку компилятора Borland C++, которая содержит все необходимые файлы для работы с графикой.

Для инициализации библиотеки служит функция

v
oid far initgraph(int_far*driver, int_far*mode, char_far*path)

где *driver – задает тип адаптера,

*mode – определяет режим, например,

*path – имя каталога, где находится драйвер адаптера (файл типа BGI – Borland Graphics Interface).

Функция graphresult возвращает код завершения предыдущей графической операции

int far graphresult (void)

Любая графическая библиотека (в том числе и рассматриваемая) содержит модули для реализации основных графических объектов:

• линейные изображения (отрезки прямых, дуги окружностей, дуги эллипсов),

• сплошные объекты, т.е. растровые образы двумерных областей (круг, прямоугольник, эллипс),

• шрифты,

• изображения, т.е. прямоугольные матрицы пикселей, независимо от содержания.

Эти объекты называются также графическими примитивами.

Библиотека Borland C++ содержится в файле graphics.h. Примеры функций графики из этой библиотеки приведены в табл.6.

Общий вид вызова функции:

{имя} ( {параметры} )

Таблица 6

Рассмотрим функцию выбора шрифта

void far settextstyle (int Font, int Direction, int Size);

где Font – задает идентификатор одного из шрифтов и соответствует обращению к набору символов (матриц 8х8 пикселей), изображающих

каждый символ; может принимать значения

Direction – определяет ориертацию текста (горизонтальная или вертикальная):

Size – указывает, во сколько раз нужно увеличить шрифт перед выводом на экран. Например, для шрифта DEFAULT_FONT возможны значения:

1 - матрица 8х8 пикселей,

2 - матрица 16х16 пикселей,

. . .

10 – матрица 80х80 пикселей.

Приведем типовую форму файла с использованием графики и вывода текста на экран.

# include

# include

# include

# include

int main (void)

{

int driver = DETECT, gmode, errorcode;

int x,y;

initgraph(&gdriver,&gmode);

errorcode = graphresult();

if (errorcode != OK)

{

printf(“Graph. error:%s\n”,grapherrormsg(errorcode));

printf(“Press any key to halt:”);

getch();

exit(1);

}

printf(“Graph.error:%S\n”,grapherrormsg(errorcode));

x=getmaxx()/2;

y=getmaxy()/2;

settextstyle(GOTHIC_FONT, GORIZ_DIR,8);

outtextxy(x,y, ”Press any key to close a gr.sys:”);

getch();

closegraph();

printf(“We are now back in text mode.\n”);

printf(“Press any key to halt:”);

getch();

return0;

}

АЛГОРИТМЫ ВЫЧЕРЧИВАНИЯ ЛИНИЙ

Функции вычерчивания линий являются основными подпрограммами графики и используются для отображения линий в заданном цвете путем задания начальных и конечных координат. Для растровой графики построение линий в общем виде представляет определенную проблему.

Важным понятием растровой графики является связность, т.е. возможность соединения двух пикселей растровой линией (последовательным набором пикселей). Линия состоит из соседних одинаково закрашенных пикселей.

И
спользуется два понятия связности для точек a₁(x1,y1) и a₂(x2,y2) (см. рис.46).

Понятие 4-хсвязности более строгое, чем 8-связность (т.е. является частным случаем).

В качестве линии на растровой сетке выступает набор пикселей p₁,p₂,…,p_n , где два пикселя p_i, p_i+1 являются соседними; линия может быть определена в смысле 4-хсвязной или 8-связной.

Одним из подходов к вычерчиванию линии является использование соотношения между смещением по координатам х и у.

Для простоты считаем, что

0  y2-y1  x2-x1

о
трезок описывается уравнением

или y = k x + b.

П
усть требуется провести линию от a₁(0,0) и a₂(10,5). Тогда смещения

y = 5 и y = 10, а соотношение

определяет коэффициент зависимости, по которому должны меняться координаты x и y при изображении линий, но для этого требуется обработка чисел с плавающей запятой, что снижает быстродействие.

Этот метод используется довольно редко.

Наиболее популярный метод изображения линий основан на алгоритме Брезенхейма (Bresenhame), предложенный в 1965 г. для растрового построения отрезка.

Алгоритм Брезенхейма отличается тем, что не требуется выполнять деление или умножение чисел с плавающей точкой. Вместо этого отношение между значениями координат x и y представляется косвенно через серии сложений и вычитаний. Основная идея алгоритма Брезенхейма – это регистрация средних значений погрешностей между идеальным положением каждой точки и той позицией на экране дисплея, в которой она реально отображается.

В принципе, алгоритм применим для любой формы линии. Его суть – итерационный процесс поиска соседних точек, начиная с точки a₁(x1,y1).

Алгоритм Брезенхейма:

а) в каждой итерации цикла вычерчивания линии вычисляются 2 погрешности по осям x и y, которые увеличиваются с изменением координат x и y соответственно;

б) если значение погрешности достигает определенной величины, оно вновь устанавливается в 0, а соответствующая координата увеличивается на 1;

в) этот процесс продолжается, пока вся линия не будет построена полностью и мы не попадем в точку конца.

П ри построении отрезка прямой всегда выбирается ближайший по вертикали пиксель (см. рис.47).

П ри этом из двух точек А и В A

выбирается та, которая ближе к a{

исходной прямой, т.е. точка А, т.к. }b

a < b . B

Для этого вводится число, равное

d = (x2-x1)(b-a) Рис. 47.

Если d>0, то значение y от предыдущей точки увеличивается на 1, а d – на 2(y -x), в противном случае значение y не изменяется, а d = 2 y.

Тогда простейший алгоритм для того же примера

0  y2-y1  x2-x1

имеет вид:

void line ( int x1, int y1, int x2, int y2, int Color )

{

int dx = x2-x1;

int dy = y2-y1;

int d = (dy<<1)- dx;

int d1 = dy<<1;

int d2 = (dy-dx)<<1;

putpixel(x1,y1,Color);

for (int x = x1+1; y = y1; x<=x2; x++)

{

if (d>0) { d+ = d2; y+ = 1;

}

else d+ = d1;

putpixel(x,y,Color);

}

}

Для дуг окружностей и эллипсов приращения и погрешности вычисляются по более сложным выражениям.

ВЫЧЕРЧИВАНИЕ ОТРЕЗКОВ

Необходимость отсечь видимое изображение по границам некоторой области встречается довольно часто.

Алгоритм Сазерленда-Кохена

Пусть область отсечения ограничена прямоугольником (см. рис. 48а). Четыре линии, образующие прямоугольник, делят плоскость на 9 областей, которые могут быть закодированы тетрадой Code (см. рис. 48б).

Каждый бит тетрады имеет смысл: