Конспект 3-3 (Конспект лекций), страница 2

Аналогично получаются матрицы проецирования вдоль 2-х других координат осей.

.

2. При аксонометрической проекции проецирующие прямые перпендикулярны картинной плоскости.

В соответствии со взаимным расположением плоскости проецирования и координатных осей различают три проекции:

• триметрия - нормальный вектор картинной плоскости образует с осями различные углы (см. рис.40,а);

• диметрия - два угла между картинной плоскостью и координатными осями равны между собой, а третий отличается (см. рис.40,б);

• изометрия – все три угла между осями и картинной плоскостью равны (см .рис.40).

Каждый из трех видов получается комбинацией поворотов вокруг осей координат, затем - параллельное проецирование.

При повороте на угол  относительно оси ординат, затем на угол  вокруг оси абсцисс, затем параллельном проецировании вдоль Оz (аппликат), образуется матрица:

Рассмотрим, как при этом преобразуются единичные орты координатных осей: Оx, Оy и Oz:

В диметрии длины двух проекций совпадают, т.к. , откуда можно получить соотношения: .

При триметрии длины проекций попарно различны.

3. При косоугольном проецировании ордината оси Оz на плоскость xy преобразуется следующим образом: (см.рис.41).

Матрица соответствующего преоб-разования имеет следующий вид:

Рассмотрим особенности проекций:

а) при свободной проекции угол наклона проецирующих прямых к картинной плоскости равен половине прямого, тогда  =  = cos /4;

б) кабинетная проекция – частный случай свободной проекции – масштаб по третьей оси вдвое меньше:  =  = 1/2cos /4.

4. Перспективные (центральные) проекции строятся более сложно.

Рассмотрим изображение куба в одноточечной проекции (т.е. с одной точкой схода лучей) (см. рис.42).

Если плоскость проецирования совпадает с координатной плоскостью Оху, то координаты точки схода (0,0,-с).

Двухточечная и трехточечная проекции строятся, когда координатные оси не параллельны плоскости экрана (см. рис.43).

Тогда определяются точки схода по всем трем осям, а матрица имеет вид:

.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ГЛАДКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

НА КАРТИННУЮ ПЛОСКОСТЬ

Рассмотрим проблемы проецирования поверхностей любого вида на картинную плоскость на примере параллельного проецирования.

Пусть картинная плоскость совпадает с плоскостью Оxy, т.е. описывается уравнением X = 0, а проецирующие прямые перпендикулярны картинной плоскости. Интересны три принципиально важных вида поверхностей.

1. Плоскость или обыкновенная поверхность описывается уравнением

(см. рис. 43)

Z = X или X – Z = 0

Вычислим координаты нормального вектора

N = (1,0,-1),

вектор, вдоль которого осуществляется проецирование

L = (1,0,0),

очевидно, что скалярное произведение

( N, L ) = 1 > 0,

т.е. вектор проецирования и нормальный вектор поверхности не перпендикулярны ни в одной точке поверхности и все точки плоскости однократно отображаются на картинной плоскости.

1. Параболический цилиндр с уравнением

Z = X² или X² - Z = 0 (см. рис. 44)

Нормальный вектор

N = (2x, 0, -1),

скалярное произведение

( N, L ) = 2x,

т.е. в точках оси Oy ( N, L ) = 0, и вектора ортогональны.

55