Лаб. работа - Исследование характеристик случайных процессов (ЛР123)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени Н.Э. БАУМАНА

А.С.КОСОЛАПОВ, А.И.СЕНИН

ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

Методические указания к лабораторной работе

по курсу "Статистическая радиотехника"

Под редакцией А.И.Сенина

Москва

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2007

Цель работы - Исследование характеристик случайных сигна­лов (процессов) на выходе нелинейных неинерционных устройств.

Задание - Проработать теоретический материал по источни­кам, указанным в списке литературы, и по данному описанию; изучить функциональную схему лабораторной установки; выполнить экспериментальную часть работы; ответить на контрольные вопросы

Краткие сведения из теории

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В радиотехнике под случайным процессом понимается эле­ктрическая величина, изменяющаяся случайным образом во времени. В отличие от детерминированных процессов он характеризуется тем, что его протекание во времени нельзя однозначно предсказать. Примером случайных процессов являются шумы в радиотехнических устройствах.

Случайный процесс описывается случайной функцией , значение которой в любой момент времени представляет случай­ную величину с определенным законом распределения. Конкретное протекание случайного процесса (т.е. его фактическая запись, например, в виде осциллограммы) называется реализацией случайно­го процесса. Она описывается детерминированной функцией. Множе­ство возможных реализаций совместно с законами, характеризующими это множество, и задают случайный процесс.

Для описания основных свойств случайных процессов используют следующие вероятностные (статистические) характеристики: плотности вероятности (законы распределения), функции распределения вероятностей, характеристические функции и моментные функции.

Функция распределения и плотность вероятностей

Одномерная функция распределения определяет вероятность того, что случайный процесс в момент времени принимает значения , т.е. . Слово «одномерная» подчеркивает тот факт, что рассматриваются значения случайного процесса в один фиксированный момент времени.

Производная от функции распределения вероятностей

,

если она существует, называется одномерной плотностью вероятно­сти случайного процесса. Величина равна вероятности того, что случайная величи­на будет заключена в интервале .

Одномерные плотность вероятности и функция распределения являются важными, но не полными характеристиками случайного процесса. Они характеризуют процесс в отдельные, фиксированные моменты времени и не содержат информации о динамике развития процесса.

Более полными характеристиками случайного процесса являют­ся двумерная функция распределения вероятностей

и двумерная плотность вероятности

которые характеризуют вероятностную связь между значениями про­цесса в два произвольных момента времени и .

Наиболее полными характеристиками случайного процесса яв­ляются n-мерная функция распределения вероятностей и n-мерная плотность вероятности.

Моментные функции

Приведенные в предыдущем разделе многомерные характеристи­ки случайных процессов являются наиболее полными. Однако при решении ряда задач довольно часто используют другие, более про­стые характеристики. К ним относятся так называемые моментные функции.

В общем виде n-мерная моментная функция порядка определяется как математическое ожидание произведения , т.е.

.

На практике наибольшее значение получили:

1. одномерная начальная моментная функция первого порядка

-

математическое ожидание случайного процесса;

1. одномерная центральная моментная функция второго порядка

-

дисперсия случайного процесса;

1. двумерная центральная моментная функция второго порядка

-

корреляционная функция случайного процесса.

Дисперсия характеризует разброс значений случайного процес­са относительно среднего. Для электрических процессов она равна мощности случайного процесса, выделяемой на сопротивлении, рав­ном 1 Ом. Корреляционная функция характеризует степень линейной статистической зависимости между значениями процесса, взятыми в два произвольные момента времени.

Стационарность и эргодичность случайных процессов

Случайный процесс называется стационарным, если его n-мер­ная плотность вероятности не зависит от сдвига начала отсчета времени, т.е.

Для таких процессов

; ;

;

;

.

Случайный процесс называется эргодическим, если любая его
вероятностная характеристика, полученная путем усреднения по
множеству реализаций с вероятностью, равной единице, совпадает
с соответствующей характеристикой, полученной из одной достаточно длинной реализации путем временного усреднения. Для таких процессов

,

,

,

.

где - длительность реализации; - суммарная продолжитель­ность нахождения значений реализации в интервале от до за время наблюдения (рисунок 1).

Нелинейные неинерционные преобразования

Среди нелинейных преобразований случайных процессов наибо­лее простым является преобразование вида

,

при котором значение выходного случайного процесса в любой мо­мент времени определяется только значением входного случайно­го процесса в тот же момент времени. Здесь - некоторая нелинейная функция. Такое преобразование называется нелинейным неинерционным.

Плотность вероятности процесса на выходе нелинейного неинерционного устройства в случае, когда обратная функция является однозначной, находится как

.

При k-значной обратной функции

,

где - i-я ветвь обратной функции.

При вычислении моментных функций случайного процесса на выходе нелинейного неинерционного устройства приходится прибе­гать к различным способам аппроксимации его характеристики. Часто используют полиномиальную и кусочно-линейную аппроксима­ции.

При полиномиальной аппроксимации характеристику нелинейного устройства представляют в виде ряда Тейлора

,

где

|_ξ=c.

Функция должна быть аналитической в окрестности точки . Число членов ряда определяется точностью аппроксимации.

При ряд Тейлора переходит в ряд Маклорэна.

Моментная функция порядка случайного процесса

находится путем подстановки вместо функций ряда Тейлора или Маклорэна и последующего почленного вычисления математичес­ких ожиданий. В частности, математическое ожидание выходного процесса находится как

.

В случае кусочно-линейной аппроксимации используются сами нелинейные характеристики, статическое усреднение осуществляет­ся непосредственно с плотностями вероятностей. При этом области интегрирования разбиваются на ряд подобластей, в каждой из ко­торых нелинейная функция записывается в явном виде. Например, математическое ожидание случайного процесса на выходе нелиней­ного устройства с характеристикой (рисунок 2б) определяется как

.

Пример. На вход безынерционного ограничителя с характеристикой

воздействует стационарный гауссовский случайный процесс с плот­ностью вероятностей

.

Определить плотность вероятностей процесса на выходе ограничителя при .

Решение. Все значения преобразуются ограничителем в одно значение , а все значения преобразуются в одно значение , поэтому при и . , . Здесь и - вероятности того, что и . Ha интервале , , т.е. преобразование является линейным. Для нахождения на этом интервале вос­пользуемся формулой преобразования плотности вероятностей. После простейших вычислений находим

.

Итак, окончательно

.

Описание лабораторной установки

для экспериментального исследования одномерной плотности вероятности случайного процесса

Экспериментальное определение плотности вероятности слу­чайного процесса основано на теореме [1], суть которой в том, что при угловой модуляции несущей стационарными процессами при достаточно больших индексах модуляции спектральная плотность мощности модулированного колебания пропорциональна плотности вероятности модулирующего про­цесса. Таким образом, для нахождения плотности вероятности случайного процесса необходимо найти спектральную плотность мощности сигнала с угловой модуляцией, используя в качестве модулирующего сигнала случайный процесс .

В соответствии с указанным замечанием лабораторная уста­новка (рисунок 2) состоит из генератора шума, генератора частотно-модулиро­ванного сигнала, измерителя спектральной плотно­сти мощности и набора нелинейных неинерционных элементов, включающего односторонний и двухсторонний ограничители, диод, квантователь на два и четыре уровня. Характеристики исследуемых элементов представлены на рисунке 3.

Генератор шума генерирует шум с гауссовским распределением в полосе частот до 20000 Гц, который с помощью переключателя (П) может последовательно подаваться на любой радиотехнический элемент из числа вышеперечисленных. Преобразованный шум исполь­зуется для частотной модуляции гармонического колебания. Полученный частотно-модулированный сигнал затем поступает на измеритель спектральной плотности мощности.

Среднее значение и дисперсия измеряются вольтмет­ром постоянного тока и квадратичным вольтметром соответственно.

Порядок выполнения работы

1. Включить необходимые приборы.

2. Просмотреть и зарисовать плотности вероятностей случайных процессов с выходов генератора шума, одностороннего и двустороннего ограничителей, диода, квантователей на два и четыре уровня (переключатель П1 устанавливать последовательно в поло­жения 1, 2, 3, 4 и 5) при различных уровнях ограничения и кванто­вания.

3. Измерить среднее значение и дисперсию случайных процессов на выходах нелинейных устройств с кусочно-линейными харак­теристиками.

Отчет о работе

Отчет о работе должен содержать функциональную схему лабораторной установки, экспериментальные, графики и осциллограммы, а также ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. Что такое случайный процесс?

2. Назовите основные характеристики случайного процесса и объясните их физический смысл.