dz-statrad (ДЗ статрад)

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Факультет РТ

Кафедра РЛ1 «Радиоэлектронные системы и устройства»

Домашняя работа по курсу

«Статистическая радиотехника»

Вариант №1

Работу выполнил:

студент группы РТ1-61 Акимов.Д.

Преподаватель: Нефёдова.Ю.С.

Задание:

Привести для оптимального обнаружителя детерминированного сигнала:

-вывод алгоритма работы оптимального обнаружителя сигнала;

-структурную схему обнаружителя сигнала;

-вывод формул для нахождения вероятности ошибок типа «ложная тревога» и вероятности правильного обнаружения;

-рассчитать и построить характеристики обнаружения.

При построении характеристик обнаружения отношения отношение менять от 0 до 8 с шагом равным 1; вероятности ошибки типа «ложная тревога» взять равными , .

Постановка задачи обнаружения.

Требуется определить правило и соответствующую ему структуру устройства - обнаружителя, которое оптимальным образом по результатам обработки реализации случайного процесса u(t) позволяет принять одно из двух решений ₁ – «сигнал есть» или ₀ – «сигнал отсутствует».

Реализация случайного процесса имеет вид:

где θ – случайная величина, принимающая значение 1 с вероятностью p и значение 0 с вероятностью 1-p;

s(t) – полезный сигнал;

n(t)- помеха (белый гауссовский шум).

1.Вывод алгоритма работы оптимального обнаружителя сигнала.

Считаем, что алгоритм работы оптимального обнаружителя при дискретной обработке получен. Алгоритм имеет вид:

(1)

где – отношение правдоподобия;

– пороговое значение.

Если отношение правдоподобия превышает пороговое значение, то верна гипотеза , а если оно меньше порога, то верна гипотеза .

Для нахождения алгоритма работы оптимального обнаружителя детерминированного сигнала с непрерывной обработкой воспользуемся равенством Котельникова:

,

где T-длительность сигнала;

        - шаг дискретизации;

- максимальная частота, ограниченная спектром сигнала.

Тогда:

(2)

Применим (2) к алгоритму (1):

где – спектральная плотность мощности шума.

В итоге, имеем:

(3)

где – энергия сигнала s(t).

Выражение (3) представляет собой алгоритм оптимального обнаружителя детерминированного сигнала при непрерывной обработке. Порог выбирается в зависимости от используемого критерия. В рамках поставленной задачи будем использовать критерий Неймана - Пирсона. Вычисление порога произведено в пункте 4 работы.

2.Структурная схема обнаружителя сигнала.

Из выражения (3) следует, что оптимальный обнаружитель должен вычислить интеграл и сравнить его значение с порогом . При превышении порога решение принимается в пользу гипотезы , в противном случае – в пользу . Интеграл, который требуется вычислить, называют корреляционным. Таким образом, оптимальный обнаружитель состоит из коррелятора и порогового устройства – ПУ. Коррелятор, в свою очередь, состоит из перемножителя (X), интегратора и генератора

опорного сигнала (ГОС), представляющего собой копию сигнала s(t).

Рисунок 1.1 – Оптимальный обнаружитель

При реализации корреляционного приемника в виде аналогового устройства часто применяют другую схемную реализацию, в основе которой пассивная электрическая цепь – фильтр. Любой фильтр, у которой на входе сигнал xt, а на выходе сигнал yt может быть описан интегралом свертки:

где h(t) – импульсная характеристика фильтра.

Значение корреляционного интеграла q можно сформировать как отсчет в момент времени t  T на выходе фильтра, импульсная характеристика которого ht  sT  t. Такой фильтр в радиотехнике называют согласованным фильтром (СФ).

Рисунок 1.2 –Структурная схема обнаружителя на основе СФ

Преимущества данной схемы заключается в том, что она не содержит активных элементов, а это преимущество при реализации в аналоговом виде. С другой стороны недостаток данной схемы заключается в том, что при перестройке обнаружителя к другому виду сигнала необходим другой СФ.

Помехоустойчивость схем на корреляционном приёмнике и на СФ одинакова.

3.Вывод формул для нахождения вероятности ошибки типа «ложная тревога» и вероятности правильного обнаружения.

Приведём график распределения величины q при наличии и отсутствии полезного сигнала:

Рисунок 1.3 – Распределения величин для наличия и отсутствия полезного сигнала.

Ошибка типа «ложная тревога» возникает, когда принято решение ₁ – «сигнал есть», а в действительности сигнал отсутствует (то есть верна гипотеза . Вероятность этого типа ошибки исходя из графика приведённого выше вычисляется по формуле:

где - распределение напряжения на выходе корреляционного приемника при справедливости гипотезы .

Вероятность правильного обнаружения определяется:

где - распределение напряжения на выходе корреляционного приёмника при справедливости гипотезы .

Пусть справедлива гипотеза . В этом случае Найдём выражение для . Для этого необходимо знать .

Вычислим параметры данного распределения:

Найдём :

где – интеграл вероятности;

– введённая переменная.

Пусть теперь справедлива гипотеза . В этом случае Найдём выражение для D. Для этого необходимо знать .

Вычислим параметры распределения:

.

Вероятность правильного обнаружения:

.                               (4)

4.Расчёт и построение характеристик обнаружения.

Найдём порог исходя из критерия Неймана-Пирсона.

Критерий гарантирует, что вероятность одного типа ошибок («ложная тревога») не превзойдёт некоторой наперёд заданой величины ( ), а вероятность другого типа ошибок («пропуск сигнала») будет при этом минимальна (при этом вероятность правильного обнаружения будет максимальна).То есть:

при этом

По условию заданы три значения , которые ограничивают вероятность ошибки типа «ложная тревога». Каждому из этих значений будет соотвествовать кривая на характеристиках обнаружения. Согласно критерию:

(5)

Алгоритм построения характеристик обнаружения:

1. Берём фиксированное значение ;

2. В формуле (5) берём из пункта 1 алгоритма, а отношение Для каждого из этих значений вычисляем порог , используя таблицу интеграла вероятности;

3. Зная пороги можно вычислить (4) для каждого значения и ;

4. Строим зависимость D( ) для фиксированных . Получаем три кривых представляющих характеристики обнаружения оптимального обнаружителя детерминированного сигнала.

Таблица 1.1 – Вычисленные согласно алгоритму и D

Воспользуемся результатами приведённой таблицы и построим характеристики обнаружения:

Рисунок 1.4 – Характеристики обнаружения

Примечание – на рисунке 1.4