Postroenie_epyur (Построение эпюр)

7

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР

РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ

Если брус без заделки (самоуравновешенный брус), то надо проверить его равновесие – алгебраическая сумма всех внешних сил, действующих на брус, должна равняться нулю.

Применяем метод сечений по участкам. Изображаем отрезанную часть бруса от свободного конца до разреза. Т. е. в отрезанной части не должно быть двух сечений, в ней не может присутствовать заделка.

В сечении прикладываем положительную осевую силу. Это растягивающая сила, ее вектор идет от сечения.

Записываем уравнение равновесия отрезанной части бруса. Это алгебраическая сумма всех сил на горизонтальную ось ( ). Получим выражение для осевой силы N, строим график, т. е. эпюру.

Особенности эпюр N, σ, w

На эпюре осевых сил N

1. Под сосредоточенной силой - скачок на величину силы.

2. На участке с распределенной нагрузкой эпюра N это наклонная линия. Если распределенной нагрузки нет, то на этом участке эпюра N параллельна горизонтальной оси, т. е. N постоянна.

3. Если к концу бруса не приложена сила, то эпюра N начинается с 0, если сила приложена, то эпюра начинается с ординаты, равной этой силе: если сила растягивающая, то ординату откладываем вверх, если сжимающая, то вниз.

На эпюре нормальных напряжений σ

Эта эпюра подобна эпюре N, только появляется дополнительный скачок в месте резкого изменения площади сечения. Эпюра на участке с распределенной нагрузкой пересекает ось там, где будет экстремум на эпюре w.

На эпюре осевых перемещений w

1. Эпюра w должна быть без разрывов (исключение – брус с зазором).

2. На участке с распределенной нагрузкой эпюра w это кривая, которая имеет экстремум там, где 0 на эпюре σ.

3. Уклон эпюры w изменяется в сечениях, где меняется величина или знак σ, этот уклон пропорционален величине σ (если знак s не изменился, то каждое последующее значение перемещения прибавляется к предыдущему, если s меняет знак, то последующее перемещение отнимается).

4. Прямолинейный и криволинейный участки эпюры w сопрягаются плавно, если в этом месте нет скачка на эпюре σ. При наличии скачка будет излом в сопряжении участков,

т. к. эпюра σ это производная от эпюры w, а эпюра w – интеграл от эпюры σ

(в масштабе).

Примечание

Иногда экстремум получается за пределами участка, в этом случае он помогает выяснить вогнутая или выпуклая будет кривая w, не имеющая экстремума на участке.

Примеры 1,3

Получается z* = - l, т. е. экстремум за пределами участка, слева, там, где график σ пересекает ось.

Пример 2

Получается z* = 2l, т.е. экстремум за пределами участка, справа, там, где .

В первых двух примерах σ на обоих участках одного знака, поэтому последующее перемещение прибавляется к предыдущему.

В третьем примере σ меняет знак, поэтому последующее перемещение отнимаем от предыдущего (по модулю).

КРУЧЕНИЕ

Если брус самоуравновешенный, т. е. нет заделки, то прежде всего надо проверить условие равновесия бруса: сумма всех моментов, приложенных к брусу, должна равняться нулю.

Удобнее изображать момент в виде точки и крестика (точка – вектор идет на нас, крестик – от нас).

Применяем метод сечений по участкам. Рассматриваем часть бруса от свободного конца до сечения. В разрезе прикладываем положительный крутящий момент М_к. Если смотреть со стороны сечения, то положительный крутящий момент направлен против часовой стрелки.

Из суммы моментов вокруг оси бруса определяем функцию крутящего момента М_к и строим эпюру.

На эпюре крутящих моментов

1. На участке с распределенной нагрузкой эпюра это наклонная линия. Если распределенной нагрузки нет, то эпюра М_к параллельна оси бруса, т.е. крутящий момент постоянный.

2. В сечениях, где приложен сосредоточенный внешний момент, на эпюре М_к будет скачок на величину момента.

3. Если на конце бруса приложен момент, то эпюра начинается с ординаты, равной этому моменту. Если на торце нет момента, то эпюра начинается с нуля.

ИЗГИБ

Всякая плоская система имеет три степени свободы, т. е. она может перемещаться в двух направлениях и поворачиваться. Но мы рассматриваем неподвижные системы. Поэтому тело надо закрепить, т. е. не дать ему возможности перемещаться в двух взаимно перпендикулярных направлениях и поворачиваться. Эту функцию выполняют опоры. В опорах возникают реактивные силовые факторы (реакции опор), которые и удерживают тело. В наших задачах должно быть три связи, т. е. опоры должны давать три реакции. В опоре заделка (рис. а) возникают три связи (реакции): две силы и момент. В опоре неподвижный шарнир (рис. б) возникают две связи (реакции) – сила горизонтальная и вертикальная. В опоре подвижный шарнир или каток (рис. в) возникает одна вертикальная связь (реакция).

На рисунках б) и в) показаны разные варианты изображения одной и той же опоры. Следует помнить, что в реальных конструкциях никаких шарниров, как правило, нет. Это лишь символическое изображение закреплений (конструктивно каких угодно), которые обеспечивают указанные на рисунках связи.

Рассмотрим балки

Балка это брус, на который действуют силы, поперечные к его оси. Балка работает на изгиб. При этом балка искривляется, одни слои балки растягиваются, другие сжимаются.

Если балка имеет опору типа заделка, то реакции в ней искать не надо. Если же балка имеет шарнирное закрепление, то надо, прежде всего, определить реакции опор из уравнений статики (это уравнения равновесия). Первым из уравнений равновесия следует рассмотреть сумму моментов относительно одной из опор, назовем ее опорой А ( ). Момент равен произведению силы на плечо. Плечо это расстояние от точки, относительно которой считаем момент, до силы. Сосредоточенный момент ни на что умножать не надо. Распределенную нагрузку мысленно заменяем ее равнодействующей, равной произведению интенсивности нагрузки q на длину участка, по которому эта нагрузка распределена. Эту равнодействующую прикладываем в середине участка, на который действует распределенная нагрузка. Плечом будет расстояние от середины этого участка до точки, вокруг которой считаем момент. Отсюда определим одну из реакций. Вторую вертикальную реакцию определим из суммы проекций всех сил на вертикальную ось y ( ). Для контроля следует подсчитать и сумму моментов относительно второй опоры, назовем ее опорой В ( ). Третья, горизонтальная связь, не реализуется, она равна нулю.

В балках строим эпюры поперечных, или перерезывающих, сил Q_y и изгибающих моментов M_x .

Правило знаков:

1. Изгибающий момент считается положительным, если он дает сжатые слои сверху.

2. Если разрез справа, то положительная поперечная сила направлена вниз, если слева, то вверх.

Применяем метод сечений по участкам. Изображаем отрезанную часть балки от свободного конца до разреза. В сечении прикладываем положительные внутренние силовые факторы. Рассматриваем равновесие отрезанной части балки. Из суммы проекций всех сил на вертикальную ось ( ) определяем функцию поперечной силы и строим эпюру Q_y. Из суммы моментов относительно оси, проходящей через сечение, определяем функцию изгибающего момента М_x.

На участке с распределенной нагрузкой исследуем М_x на экстремум. При исследовании на экстремум надо найти первую производную от функции М_x и приравнять ее к нулю. Отсюда найдем - расстояние до сечения, где будет экстремум.

Экстремум это точка на графике, в которой, касательная к кривой параллельна оси.

Примечание: В балках типа, изображенного на рисунке, расстояние до экстремума равно коэффициенту k при «подпирающей» силе, а сам экстремум равен половине квадрата этого коэффициента (М_x^*=

На эпюре поперечных сил Q_y:

1. На участке с распределенной нагрузкой эпюра Q_y - наклонная линия, которая пересекает ось там, где на эпюре изгибающих моментов M_x будет экстремум. Если распределенной нагрузки нет, то на этом участке эпюра Q_y - прямая линия, параллельная оси, т. е. поперечная сила постоянна;

2. В сечениях, где приложена сосредоточенная внешняя сила, на эпюре Q_y скачок на величину этой силы.

Заметим:

при изображении эпюры Q_y , если идти слева направо, откладываем ординату в сторону вектора силы, если идти справа налево, то наоборот (вектор силы, направленный вверх, откладываем вниз).

На эпюре изгибающих моментов М

1. На участке с распределенной нагрузкой эпюра М_x - парабола, выпуклостью навстречу силе («дождь и зонтик»), экстремум там, где ноль на эпюре Q_y. Если распределенной нагрузки нет, то эпюра М_y - прямая линия, наклонная к оси или ей параллельная.

2. В сечениях, где приложен сосредоточенный внешний момент, на эпюре М_x скачок на величину этого момента.

3. В сечениях, где приложена внешняя сила, на эпюре М_x излом острием навстречу силе.

Построение формы изогнутой оси балки

Смотрим на эпюру M_x:

1) знак кривизны соответствует знаку момента;

2) в сечениях, где момент меняет знак, на изогнутой оси - точка перегиба;

3) изогнутая ось проходит через опорные точки, а в заделку входит по касательной (смотри рисунок).