108918 (Исторические проблемы физики. Сила, масса, инерциальная система отсчета), страница 3

Для этого достаточно обеспечить при массе дробинки г и ядра кг массу Земли, вместе с находящейся на ней Пизанской башней и экспериментатором-физиком, равную, скажем, г.

При этом, однако, возникает новая трудность: при и имеем: .

При таком ускорении путь м будет пройден за время , равное:

,

т.е. воображаемый Галилей не доживет до конца эксперимента, а за время жизни реального Галилея пройденная высота Пизанской башни составит:

так что требуемая точность измерений все еще будет составлять порядка .

Если считать, что такая точность измерений не достижима на практике, то тем более недостижима точность измерения по программе “Галилей” за время наблюдения c, равное времени наблюдения реального Галилея:

.

При этом экспериментатор рискует вновь прийти к неверному выводу: “ускорение тел не зависит от их массы” и даже в усугубленном виде “перемещения тел не зависят от массы”.

Итак, положение Аристотеля относится к другому частному случаю обратного соотношения масс при измерениях в СО1.

Фактически результат Аристотеля реализуется в самом эксперименте Галилея при переходе от СО1 к СО2, образующем своего рода “инверсию” точки зрения.

Таким образом, оба положения: Аристотеля – “ускорение тела пропорционально массе тела” и Галилея – “ускорение тела не зависит от массы тела” действительно относятся к одному и тому же частному случаю взаимодействия тел 1, 2 с существенно неравными массами.

При этом, однако, для результат Галилея реализуется в СО1, а результат Аристотеля - в СО2.

Оба “взаимоисключающие” положения оказываются верными, относятся к одному и тому же частному случаю взаимодействия и “подтверждаются” одним и тем же экспериментом, но только лишь в разных СО.

В общем же случае верным является положение Ньютона: “В ИСО, для данной пары 1, 2, ускорение объекта 2 не зависит от его массы ”.

Случай Ньютона

Пусть теперь оба тела 1 и 2 имеют не галилеевские большие массы.

Назовем их ньютоновскими объектами , :

,

,

где .

Пусть попрежнему , а .

Тогда поскольку , справедливо: .

С учетом: , , поскольку , при некоторых оба ускорения , , все время оставаясь при этом .

При некотором порядке малости, определяемом заданной точностью измерений, оба ускорения достигают значений, принимаемых за нулевые, причем достигает этого значения много раньше :

, , , .

Поскольку при этом , то ИСО таким образом вновь совмещается с СО1. Другими словами при взаимодействии тел с ньютоновскими массами начиная с некоторого минимального (назовем его минимальным ньютоновским расстоянием ) ИСО вновь, как и в случае галилеевского объекта приводится к СО1.

Итак, при взаимодействии ньютоновского и галилеевского объектов :

, , , , , , ,

при любом .

При взаимодействии двух ньютоновских объектов , с существенно неравными массами :

, , , , , , ,

т.е. не при любом, а лишь начиная с некоторого ньютоновского расстояния , определяемого заданной точностью вычислений.

Определим теперь как функцию от заданного соотношения масс , и заданной точности вычислений.

Пусть , .

В ИСО ускорения тел 1, 2 составляют:

,

.

Видно, что и отличаются от и только на величину , т.е. сама СО1 отличается от ИСО в пределах .

Если теперь (ввиду ), то при определенной точности вычислений ею можно пренебречь, т.е. принять: , .

При этом: , где - погрешность приближения, вносимая заменой истинной ИСО приближенной .

Поскольку , имеем: .

Откуда минимальное ньютоновское расстояние , соответствующее допускаемой максимальной погрешности приближения , составляет: .

Например, в ньютоновской системе 1, 2, где тело 1 - Земля, , тело 2 - Луна, , , имеем:

,

.

Примем теперь СО1 в качестве приближенной ИСО.

Получим: , .

При этом погрешность приближения составляет:

.

При заданной погрешности приближения, например, имеем:

.

Поскольку реальное удовлетворяет заданной погрешности приближения, принятие СО1 в качестве приближенной ИСО в данном случае допустимо.

При меньшем допускаемом значении погрешности приближения, например, минимальное ньютоновское расстояние для данной пары 1, 2 ньютоновских объектов составляет уже , что не обеспечивается в реальной паре, т.е. в данном случае принятие СО1 в качестве приближенной ИСО не допустимо.

Ньютоновский вопрос, обычно выражаемый примерно так: “Является ли сила, действующая на расстоянии до Луны, силой того же рода, что и на поверхности Земли” или, в несколько уточненной формулировке: “Является ли сила, действующая на ньютоновский “большой” объект, находящийся на расстоянии до Луны, силой того же рода, что и действующая на галилеевский “малый” объект, находящийся, вообще говоря, на любом расстоянии, в том числе и на расстоянии до Луны”, в форме наиболее отвечающей сути поисков Ньютона, может выглядеть еще и так: “Является ли ИСО двух ньютоновских “больших” объектов, находящихся на ньютоновских “больших” расстояниях друг от друга, той же самой, что и ИСО ньютоновского и галилеевского объектов, для которых при любом (галилеевском или ньютоновском) расстоянии, где 1 - ньютоновский объект?”.

Ответ такой:

“Да, если масса одного ньютоновского объекта много больше массы другого , а ньютоновское расстояние удовлетворяет соотношению:

,

т.е. достаточно велико, чтобы, в пределах точности вычислений, определяемой допускаемыми погрешностями , можно было принять , а саму ”.

С указанной выше точностью именно такой случай имеет место в ньютоновских окрестностях Земли, что и позволило самому Ньютону понять то обстоятельство, что взаимодействие тел простирается на ньютоновские расстояния.

Следует, однако, помнить и другие возможные варианты ответа:

“Нет, если оба ньютоновских объекта близки друг другу по массе , при любом расстоянии между ними, кроме , когда оба , т.е. взаимодействие прекращается, вследствие чего в качестве местной ИСО может быть принята как СО1, так и СО2”.

“Нет, если массы ньютоновских объектов удовлетворяют условию , но ньютоновское расстояние при заданной точности измерений, определяемой ,удовлетворяет соотношению:

”.

При наличии в ньютоновских окрестностях тела 1 с массой не одного тела 2, а множества тел c массами местная ИСО может быть найдена по отдельности для каждой пары , .

Если при этом тело 1 имеем массу , то его СО1 с учетом и заданной точности приближения может быть принята в качестве местной ИСО для каждой заданной пары.

При этом СО1 является совместной приближенной ИСО системы, образованной ньютоновскими взаимодействующими объектами.

Система Коперника

Именно такой случай обнаружен в масштабе солнечной системы, где тело 1 - Солнце, что и зафиксировано в гелиоцентрической системе описания движений небесных тел.

Открытие Коперника, до сих пор выражаемое в логически противоречивой форме: “Планеты обращаются вокруг Солнца” (поскольку движение относительно и определяется выбранной СО), в свете законов Ньютона выглядит иначе: “Солнце является ньютоновским объектом, масса которого много больше массы любой планеты, поэтому его СО1, с известной погрешностью приближения, может быть принята в качестве совместной ИСО солнечной системы”.

Действительно, для пары Солнце - Меркурий, , , :

,

.

Для пары Солнце - Земля, где , , аналогичные вычисления дают: , ; для пары Солнце-Юпитер, где , : , , и т.д.

Для трех указанных пар принятие СО1 в качестве приближенной местной ИСО сопровождается абсолютной погрешностью .

При этом относительная погрешность для данной пары ньютоновских объектов составляет: для пары Солнце-Меркурий: , для пары Солнце-Земля ; для пары Солнце-Юпитер .

Однако как бы ни была мала исходная погрешность приближения, соответствующая ей накопленная погрешность, например, при расчете текущего пространственного положения ньютоновских объектов определяется длительностью наблюдения и через определенный промежуток времени превысит погрешность определения фактического положения, что и обнаружится в виде несоответствия расчетному положению.

Поэтому истинная ИСО все же не является СО1 и все планеты вовсе не “обращаются вокруг Солнца”, а вместе с ним - вокруг общего центра масс солнечной системы, как раз и образующего истинную ИСО.