86122 (Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n)
Описание файла
Документ из архива "Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86122"
Текст из документа "86122"
Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей n.
Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.
Ферма (потом Эйлер) доказывали эту теорему для частного случая n = 4 способом бесконечного спуска с помощью формул древних индусов: x= a
- b , y=2ab, z= a + b .
Другие формулы: x = 
+ b, y = + a, z = + a + b (1).
В (1) a и b любые взаимно простые положительные целые числа, одно из них – чётное, другое – нечётное. Пусть a – чётное, b – нечётное: a=2c , b=d , откуда =2cd.
После подстановки значений a и b в (1) получим:
X = d(2c+d); Y= 2c(c+d); Z= 2c(c+d)+ d (2),
где c и d любые целые положительные числа; c,d и их суммы взаимно просты;
X,Y,Z – взаимно простые тройки решений уравнения Пифагора. Если определены и целы c и d, то определены и целы все три числа X,Y,Z.
Предположим, что уравнение Ферма x
+ y = z имеет тройку целых положительных решений x,y,z при нечётном целом положительном значении показателя n, n>2. Запишем это уравнение следующим образом:
(x
) + (y ) = (z ) (4).
Так как рассматривается возможность существования целых решений уравнений Ферма и (4) , то должно выполняться следующее условие:
x = X; y = Y; z = Z; где X,Y,Z из (2) (5).
Чтобы числа x,y,z были целыми, из всех трёх чисел X,Y,Z должны извлекаться целочисленные корни степени n (n – нечётное положительное целое число):
x =
= (
) ; y =
= (
) ; z =
.
Для упрощения достаточно рассмотреть два целых числа и ( n – нечётное ):
= 
= 
и = 
= 
.
Подкоренные выражения содержат сомножители не имеющие общих делителей, кроме 1, поэтому каждый сомножитель должен являться целым числом в степени n:
d = g ; 2 c = h , следовательно, = 
; = 
.
Так как x, – целые, x – по условию, а – из-за нечётн. n, то g + h = k , где k – целое.
Тройка решений g,h,k удовлетворяет уравнению Ферма, но все три числа меньше числа x первой тройки решений, потому что наибольшее число k из g,h,k меньше , так как =g
, а <x, так как x=( ) . Число k заведомо меньше числа z.
Повторим те же рассуждения для второй тройки решений g,h,k, начиная с (4):
(g ) + (h ) = (k ) ; g = =(
) ; h = =(
) ; k = .
= = и = = .
d = p ; 2 c = q , следовательно, = 
; = 
.
p + q = r , где r – целое число. Все три числа p,q,r меньше числа из второй тройки решений и r<k. Таким же образом получается 4-я тройка решений, 5-я и т.д. до 
.
При данных конечных целых положительных числах x,y,z не может существовать бес-конечной последовательности уменьшающихся целых положительных троек решений. Ряд натуральных чисел конечен. Отсюда целых положительных троек решений для целых положительных нечётных (и всех простых) значений показателя n (n>2) не существует.
Для чётных n=2m не кратных 4: (x )
+(y ) =(z ) , m – нечётное. Если нет целых троек решений для показателя m, то их нет и для 2m (это показал Эйлер). Для n=4 и n=4k (k=1,2,3…) уже доказано, что целых положительных троек решений не существует.
А. Ф. Горбатов
