85154 (Двойной интеграл в полярных координатах)
Описание файла
Документ из архива "Двойной интеграл в полярных координатах", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "85154"
Текст из документа "85154"
Двойной интеграл в полярных координатах
-
П усть в двойном интеграле
-
(1)
-
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos , y = r sin . (2)
-
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и = i (лучи)
-
Введем обозначения:
-
rj = rj+1 - rj,
-
i = i+1 - i
-
Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rji и rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
-
Si = rj i rj (3)
-
Что касается ячеек Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
-
В качестве точки Mij Sij для простоты выберем вершину ячейки Sij с полярными координатами rj и i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos i, yij = rj sin i.
И следовательно,
f(xij,yij) = f(rj cos i, rj sin i) (3')
-
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
-
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), п олучаем:
-
(4)
-
где d - максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
-
f(r cos, r sin)r,
-
с оответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами i и ri. Следовательно
-
(5)
-
С равнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
-
(6)
-
Выражение
-
dS = r d dr
-
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).
-
Д ля вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами
-
Где r1(), r1() - однозначные непрерывные функции на отрезке [,].
-
И меем
-
(8)
-
Где
-
F(r,) = rf(r cos, r sin)
-
Пример 1.
-
П ереходя к полярным координатам и r, вычислить двойной интеграл
-
Г де S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).
-
Так как
-
т о применяя формулу (6),
-
п олучим
-
О бласть S определена
-
Н еравенствами
-
П оэтому на основании формулы (8) имеем
-
Пример 2.
-
В интеграле
-
(9)
-
перейти к полярным координатам.
-
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1
-
В полярных координатах уравнения этих прямых записываются следующим образом: =0, =/4, r cos=1 и, следовательно, область S определяется неравенствами
-
О тсюда на основании формул (6) и(8), учитывая, что
-
и меем